Sunto
Dopo aver ripreso per l'equazione del tipo iperboliconon lineare:
il problema diGoursat, studiato in una Memoria precedente, e aver ridotto notevolmente le ipotesi fatte, l'A. sviluppa per l'equazione stessa la teoria delle caratteristiche nel campo delle funzioni di variabile reale, dimostrando in tale campo, sotto ipotesi che non sembrano ulteriormente riducibili, numerosi teoremi, che finora erano stati dimostrati solo nel campo analitico. L'A. porta cosi nel campo reale la teoria delle caratteristiche per la (1) allo stesso grado di compiutezza, a cui essa era stata portata nel campo analitico.
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Bibliografia
M. Cinquini-Cibrario,Sul problema di Goursat per le equazioni del tipo iperbolico non lineari, « Annali di Matematica », S. IV, T. XXI, 1942-XX, p. 189–229. Nel seguito tale memoria sarà citata con (M).
Cfr.Goursat,Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, Tome I, Chap. IV, p. 188–193.
E. E. Levi,Sopra un teorema di esistenza per le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, « Annali di Matematica », S. III, T. XVIII, p. 287–333; cfr. il § III, p. 331–333 A proposito della dimostrazione delLevi, che scrive la (I) nella formas=f(x, y;z;p, q;r, t), va tenuto presente che dalle ipotesi delLevi segue anche la condizione:\(\frac{{\partial f\left( {x,0;0;0,0;0,0} \right)}}{{\partial y}} = 0,\) che ilLevi non rileva in modo esplicito, ma di cui si serve nella dimostrazione.
In questo caso non occorre più imporre la condizione che tutti i sistemi di funzionix (n) …t (n) ottenuti colle approssimazioni successive abbiano derivate prime lipschitziane. Del resto si possono ripetere qui, con lievi mutamenti, le osservazioni fatte alla fine del § 6 (p. 224) di (M).
Cfr.Goursat, l. c. alla nota (4), p. 191 e 193.
Cfr. p. es.H. Lewy,Ueber das Anfangsrvertproblem einer hyperbolischen nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zrveiter Ordnung mit zrvei unabhängigen Veränderlichen (« Math. Ann. », t. 98, 1928, p. 179–191). V. ancheJ. Hadamard,Le problème de Cauchy (Paris 1932), Appendice III, p. 487 e seg.
Goursat, l. c. alla nota (4), p. 198.
Questo enunciato precisa una affermazione delLevi, l. c. alla nota (5), p. 291; ilLevi infatti non enuncia le ipotesi di derivabilità, sotto cui vale il teorema nel campo reale, e inoltre dice semplicemente che la curva Γ è curva di contatto tra le due superfici integrali della (I). Ora per la validità del teorema nel caso generale di unaequazione (I), non lineare neppure soltanto nelle derivate di ordine massimo, bisogna imporre la condizione che le due superfici integrali della (I) abbiano uncontatto del secondo ordine nei punti di Γ, e ciò perchè, come si vede con semplici esempi,due superfici integrali di una equazione non lineare neppure nelle derivate di ordine massimo,possono avere in comune una curva Γe avere nei punti di Γun contatto del primo ordine, senza che Γsia una caratteristica per le due superfici. Si vedrà, alla fine del presente lavoro (cfr. in seguito il § 4,Teorema V′) che,se l'equazione è quasi lineare, è sufficiente supporre che due superfici integrali abbiano, nei punti della curva Γcomune, un contatto del primo ordine, perchè Γsia una caratteristica per entrambe le superfici.
Cfr. anche (M), § 8, p. 227 e seg.
Cfr. (M), § 8, p. 227 e seg.
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Cinquini-Cibrario, M. Sopra alcune questioni relative alle equazioni del tipo iperbolico non lineari. Annali di Matematica 23, 1–23 (1944). https://doi.org/10.1007/BF02412823
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02412823