Sunto.
Premessi alcuni richiami sulle relazioni fra la teoria delle varietà isotrope, sviluppata dalLense e poi dalPinl, e la teoria delle geometrie riemanniane di specie superiore sviluppata dall'A. (§ 1), si illustra la necessità di considerare in queste teorie i fatti proiettivi, servendosi di alcuni esempi.
Questi riguardano: le superficie rigate isotrope (studiate dalLense) (§ 2); alcune superficie isotrope non rigate (studiate dalPinl) e varietà isotrope (studiate dalLense) (§ 3); le proiezioni delle varietà isotrope (§ 4).
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Literatur
Riporto qui il sunto di quella comunicazione dato nel programma della Riunione. « Riemannsche Geometrie gegebener Gattung: geometrische und analytische Erklärungen. Abwickelbarkeit gegebener Gattung zweier Mannigfaltigkeiten aufeinander. Die « darstellende Mannigfaltigkeit » einer Verbiegung und ihre projektiven Eigenschaften als projektiv-invariante Eigenschaften der Verbiegung. Äquivalenz der « darstellende Mannigfaltigkeit » einer Verbiegung gegebener Gattung und der totalisotropen Mannigfaltigkeiten derselben Gattung. Klassen von totalisotropen Flächen gegebener Gattung ». Per quanto riguarda le mie ricerche posso riferirmi alla mia Memoria:Geometrie riemanniane di specie superiore (« R. Accademia d'Italia », Memorie della-Classe di Scienze fisiche etc., vol. 6, n. 8, 1935, p. 269–520), ove sono stati citati i miei lavori precedenti sull'argomento. Però, come in essa è avvertito esplicitamente (e a differenza di quanto ho visto scritto da altri), quella Memorianon riassume i risultati precedenti (se non in quanto è necessario). Per es. non vi sono i risultati geometrici delle quattro Note:Invarianti e covarianti metrici nelle deformazioni di specie superiore delle superficie, pubblicate nei « Rendic. della R. Accademia dei Lincei », negli anni 1919–1921.
Citerò soltanto le tre Note più recenti diJ. Lense:Ueber isotrope Mannigfaltigkeiten (« Mathematische Annalen », Bd. 116, 1939, p. 297–309);Beiträge zur Theorie der isotropen Mannigfaltigkeiten (« Monatshefte für Math. u. Phys. », Bd. 48, 1939, p. 121–128);Längentrene Abbildung, isotrope Mannigfaltigkeiten von Rang null, Einbettungssatz (« Jahresbericht d. Deutschen Mathem. Verein. », Bd. I, 1940, p. 1–6) ove si trovano altre indicazioni bibliografiche su lavori delLense stesso e diM. Pinl.
Si veda per es. la Nota delLense nei « Math. Ann. » (1939) ove si trovano riesposte, per le superficie, le nozioni di spazio osculatore e di classificazione proiettiva delle curve su di esse. La prima idea di quegli spazî èDel Pezzo; io me ne servo (avendo largamente estesa quell'idea) da circa 30 anni (sono stati poi incontrati di nuovo dalVitali). IlLense indica lo spazio osculatore contenente l'intorno d'ordine v conS v. Preferisco la mia notazione,S(v), perchè di solito (e sempre in Italia) l'indice apposto in basso alla lettera che serve a designare lo spazio indica la sua dimensione.
E. Bompiani:Geometria proiettiva di un'equazione a derivate parziali lineare omogenea. — I. Classificazione delle quasi-asintotiche. — II.Sistemi invarianti associati ad un sistema di quasi-asintotiche (« Rend. R. Acc. dei Lincei », (6) vol. XXVIII, 1938, p. 283–301). Come altro esempio dell'uso di fatti proiettivi in queste questioni vedasi la mia Memoria:Le superficie emisotrope nello spazio euclideo a quattro dimensioni (« R. Accademia d'Italia », Memorie della Classe di Scienze fisiche, etc., vol. XII, 1940, n. 1, p. 1–23).
Mi sono servito di queste forme più semplici, invarianti per cambiamenti simultanei delle variabili sulle due varietà (cioè quando fra esse sia giàdata la corrispondenza) nella Nota:Basi analitiche per una teoria delle deformazioni delle superficie di specie superiore (« Rend. R. Acc. dei Lincei », (5) vol. XXV, 1916, p. 627–634). Sono soltanto queste forme più semplici che intervengono, per le ragioni che vedremo, nella teoria delle varietà isotrope.
Si veda la mia Memoria dell' Aceademia d'Italia del 1935, Parte II, Cap. V e poipassim, particolarmente Parte III.
J. Lense:Ueber Kurven mit isotropen Normalen (« Mathem. Annalen », Bd. 112, 1935, p. 139–154);Ueber vollisotrope Flächen (« Monatsh. für Math. u. Phys. », Bd. 43, 1936, p. 177–186);Ueber isotrope Mannigfaltigkeiten (« Math. Annalen », Bd. 116, 1939, p. 297–309).
E. Bompiani:Alcune proprietà proiettivo-differenziali dei sistemi di rette negli iperspazi (« Rend. Circ. Mat. di Palermo », vol. XXXVII, 1914, p. 297–331).
Nell'ultimo lavoro citato delLense, § 5, p. 303.
Anche qui si potrebbe fare un'ulteriore distinzione nel caso che tutti i sistemi di linee isotrope coincidano con le generatrici come in fine al n. 5 (v. nota). Il risultato relativo al caso generale à già dato (per rigatev-isotrope) nella mia Memoria dell'Accademia d'Italia (1935) nel 2o alinea del n. 13 a p. 378.
M. Pinl,W-Projektionen totalisotroper Flächen II (« Časopis pro Pest. Math. a. Phys. », vol. 66, 1940, p. 23–35); equazioni (15) a p. 27 prendendo in esse il segno+e ponendou 1=u, u 2=v, i=√−1. Per l'omogeneità può porsix 0=1. (Questo lavoro sarà indicato con W-II, per distinguerlo dall'altro con lo stesso titolo, che indicherò con W-I, pubblicato nella stessa raccolta, vol. 66, 1937, p. 95–102).
E. Bompiani:Sopra alcune estensioni dei teoremi di Meusnier e di Eulero (« Atti R. Accad. di Torino », vol. 48, 1912–13, p. 393–410).
E. Bompiani-E. Bortolotti:Ricerche sulle superficie nello spazio a cinque dimensioni e nuove caratterizzazioni della superficie di Veronese (« Math. Zeitschr. », Bd. 42, 1937, p. 411–429); p. 415, I.
W-II, p. 29.
W-II, p. 32, equazioni (43).
W-II, p. 34. Le curve considerate dalPinl stanno effettivamente inS 4, peròvariabile da curva a curva, e sono quartiche razionali normali. È quindi errata anche l'equazione (55) delPinl, cioè lo sono i calcoli che la precedono: il che è del tutto comprensibile data la complicazione della rappresentazione di cui si serve ilPinl. Bastava rendersi conto del carattere proiettivo della questione e passare alla rappresentazione qui adottata della superficie per rendere i calcoli immediati.
W-II, p. 34, equazioni (60).
M. Pinl:Zur Existenztheorie und Klassifikation totalisotroper Flächen (« Compositio Mathematica », vol. 5, 1937, p. 208–238); si vedano le equazioni (89) a p. 230. L'altro esempio, esaminato qui al n. 9, è dato con le equazioni (105). In questo lavoro ilPinl distribuisce le superficie 1-isotrope in più classi a seconda che i 4 sistemi di linee 2-isotrope, date dall'annullarsi della seconda forma fondamentale sono: (I) tutti coincidenti; (II) coincidono a coppie; (III) tre coincidenti e uno distinto da essi; (IV) due coincidenti e due distinti fra loro e da quelli; (VII) tutti distinti (e in particolare: (V) in ciascun punto formano gruppo armonico o (VI) equianarmonico). Indi esamina queste superficie in rapporto alla dimensione delloS(2) osculatore e costruisce esempi negli spazî euclidei di dimensione minima che possono contenere superficie dei varî tipi. Alle superficie isotrope che, nel linguaggio di questa teoria, hanno alcuni sistemi multipli di linee 2-isotrope è dedicato (perv qualsiasi e non solo perv=1) il Cap. II della Parte III della mia Memoria dell'Accademia d'Italia (1935) (dal titolo:Deformazioni di specie v con linee a v-esime curvature invarianti multiple); sicchè, come ha notato ilLense (« Math. Ann. », 1939) i risultati relativi alla classificazione delPinl seguono dai miei quando si specifichi la dimensione dell'ambiente (ilPinl, che pure cita la mia Memoria, non fa cenno di questo fatto). Quanto al criterio di classificazione esso è certo legittimo, ma se si accettano come tipi (meglio: sottotipi di VII) quelli V e VI non vedo perchè non si potrebbe aggiungere un altro tipo (più generale di V e VI e meno di VII): quello delle superficie tali che l'invariante assoluto delle 4 tangenti in un punto che annullano la seconda forma sia costante al variare del punto sulla superficie.
Nella mia Memoria dell'Accademia d'Italia (1935), al n. 13, p. 378, è dato un teorema per le deformazioni di speciev, che perv=1 e nel linguaggio delle superficie isotrope si particolarizza così: Le superficie isotrope diS 6 o diS 7 con un sistema triplo di curve 2-isotrope e l'altro (semplice) distinto da esso sono necessariamente rigate e il sistema triplo è costitnito dalle generatrici. Questo risultato potrebbe apparire in contrasto con l'esempio ora esaminato delPinl (perchè per le rigate non sviluppabili èS(2) ≡S 4, mentre in quest'esempio èS(2) ≡S 5).Non esiste alcuna contraddizione fra i due risultati perchè la metrica da me assunta inS 6 o inS 7 è quellaeuclidea, mentre come s'è dimostrato ora, quella delPinl nell'ambienteS 7 della sua superficienon èeuclidea (la quadrica assoluto è degenere). Si capisce che si potrebbe fare una teoria delle superficie (e varietà) isotrope in una metrica diversa da quella euclidea; in particolare, come accade nell'esempio delPinl, prendendo nelloS n una quadrica degenere in un suoS * n-1 (improprio). Se questa è un cono di prima specie (e analogamente potrebbe farsi per qualsiasi specie) ci si riduce con una proiezione dalle superficie isotrope in questa metrica a quelle isotrope in una metrica euclidea di unS n-1; e ogni superficie sul cono proiettante una superficie euclidea-isotropa diS n-1 è isotropa nella metrica euclidea diS n (e infatti nell'esempio delPinl se si proietta la superficie dal vertice del cono sopra unoS 6 si ottiene appunto una rigata in accordo col mio teorema citato). D'altra parte è vero che si può sempre pensare unS +1 perS n e in unoS * n perS * n-1 contenuto inS n+1 una quadrica non degenereQ che tocchiS * n-1 e sia tagliata da esso nel cono di prima; ma quest'ampliamento diS n inS n+1 e la scelta diQ sono del tutto arbitrarii. Per questa ragione l'esempio delPinl può sembrare, per lo meno, poco soddisfacente. Una costruzione di superficie isotropeappartenenti adS 8 e con un sistema triplo di linee 2-isotrope à data appresso (n. 12).
Si vedano iBeiträge già citati, § 4, p. 126.
In fine a pag. 24.
Nella mia Memoria dell' Accademia d'Italia (1935), p. 367 perv=1.
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Bompiani, E. Intorno alle varietà isotrope. Annali di Matematica 20, 21–58 (1941). https://doi.org/10.1007/BF02412449
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02412449