Sunto
Sotto ampie ipotesi sono dimostrati un teorema di esistenza in un campo limitato e un analogo teorema in un campo illimitato, relativi alla soluzione del problema di Cauchy (in senso generalizzato) del sistema semilineare
La soluzione è ricercata nel campo funzionale, costituito dalle m-ple di funzioni zi(x, y1, ..., yr), (i=1, ..., m), le quali sono definite in un ben determinato campo, sono ivi assolutamente continue in x e lipschitziane nel complesso delle variabili (y1, ..., yr), e soddisfano il sistema (I) quasi ovunque in tale campo.
Article PDF
Avoid common mistakes on your manuscript.
Literatur
M. Cinquini Cibrario,Sistemi di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, Annali di Mat., S. IV, Vol. XLIV (1957), pp. 357–418.
M. Cinquini Cibrario,Ulteriori ricerche intorno ai sistemi di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, Annali Scuola Normale Sup. di Pisa, S. III, Vol. XIII (1959), pp. 449–488.
M. Cinquini Cibrario,Teoremi di unicità per sistemi di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, «Annali di Mat.», S. IV, Vol. XLVIII (1959), pp. 103–134. Per una esposizione organica dei risultati contenuti in tale memoria e nelle due citate in (1) cfr. anche
M. Cinquini Cibrario eS. Cinquini,Equazioni a derivate parziali di tipo iperbolico, «Monografie Matematiche del C.N.R.», N. 12, Edizioni Cremonesi, Roma (1964); Cap. IV, § 2 e § 3, pp. 335–383. Tale volume sarà citato in seguito con (Mn).
Cfr. (Mn), Cap. IV, § 2,n. 8, pp. 335–337.
Cfr.H. Rademacher,Über partielle und totale Differenzierberkeit von Funktionen mehrerer Variabeln und über die Transformation der Doppelintegrale. «Math. Annalen», Bd. 79 (1919), pp 340–359; in particolare Parte I, n. 3, Teorema I, p. 347.
C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen, Teubner, Leipzig 1918; cfr. Kap. XI, nn. 582 e 583, pp. 672–673.
Per le (14), (14'), (15) cfr. la prima memoria citata in (1), § 1, n. 1, pp 360–363.
Cfr. anche (Mn), Cap. IV, § 2, n. 9 α), pp. 344–345.
Cfr. (Mn) Cap. IV, § 2, n. 9 γ), pp. 347–351.
Cfr. (Mn) Cap. IV, § 2, n. 9 β), pp. 345–346, e inoltre il teorema di derivaziono delle funzioni composte, stabilito nella prima memoria citata in (1) (§ 1, n. 4, pp. 369–370).
Nei capoversi successivi costruiremo unam-pla di funzioniz j(x,y 1, ...,y r), (j=1, ...,m) soddisfacenti le (27) in tutto il campoT, dimostrando inoltre che talem-pla di funzioni soddisfa il teorema.
Cfr. (Mn), Cap. IV, § 3, n. 13, pp. 358–378.
L. Tonelli,Sulle equazioni integrali di Volterra, «Mem. R. Acc. delle Scienze di Bologna», S. VIII, Vol. V (1927–28), pp. 17–22.Sulle equazioni funzionali del tipo di Volterra, «Bull. of the Calcutta Math. Soc.», Vol. XX (1929), pp. 31–48.
G. Sansone eR. Conti,Equazioni differenziali non lineari, «Monografie Matematiche del C.N.R.», N. 3, Edizioni Cremonesi, Roma (1956), Cap. I, § 2, n. 1, pp. 15–16. Si vede facilmente che, nel caso attuale, il Lemma diGronwall, può essere applicato senza preoccuparsi se la funzioneU (n)(x), limitata, non negativa e non decrescente in (0,a), sia o no continua in (0,a).
Cfr. la memoria citata per prima in (1), § 1, n. 2, pp. 363–364 (tenendo conto che vi è qualche differenza nelle notazioni), e anche § 2, n. 2 p. 375, nota (20).
Cfr. l.c. per primo in (1), § 1, n. 4, pp. 369–370.
La (83) si deduce dalle (82), tenendo presente il modo, nel quale nel capoversog è stata definita la funzioneV (n)(x), e ragionando in modo simile al l.c. in (16).
Il teorema diGiulio Ascoli vale anche per funzioni di due o più variabili in campi finiti a due o più dimensioni; cfr.C. Severini. Sul problema diCauchy. «Atti Acc. Gioenia di Scienze Naturali in Catania», Serie 5a Vol. X (1916), Mem. XXIV, pp. 1–30 (cfr. § 1, pp. 1–9).
Cfr.Mn. Cap. IV, § 2, n. 9, pp. 337–354, e n. 11, 356–358.
Cfr. (Mn), Cap. IV, § 2, n. 10 (a), pp. 354–355, e anche la memoria citata in (2), § 1,n. 4,Teorema II, pp. 119–120.
Cfr. la memoria citata in (2), § 2, n. 9,Teorema IV, pp. 126–127.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Cibrario, M.C. Teoremi di esistenza per sistemi semilineari di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti. Annali di Matematica 68, 119–160 (1965). https://doi.org/10.1007/BF02411023
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02411023