Sunto
Sotto ipotesi molto ampie sono dimeostrati alcuni teoremi di unicità e di dipendenza continua dai dati della soluzione del problema diCauchy (in senso generalizzato) del sistema
La soluzione è ricercata nel campo funzionale, costituito dai sistemi di funzioni zi(x, yi, ..., yh), (i=1, 2, ..., m), che sono definite in un ben determinato campo, sono ivi assolutamente continue in x e lipschitziane in yi, ..., yh, e soddisfano il sistema (I) quasi ovunque in tale campo.
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M. Cinquini-Cibrario,Sistemi di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti, « Ann. di Mat. », (4), XLIV (1957), 357–418. Tale memoria sarà indicata nel seguito con (M).
S. Cinquini,Sopra l'unicità della soluzione dei sistemi di equazioni a derivate parziali del primo ordine, « Rendic. Istituto Lombardo »,88 (1955), 960–978. Il § 1 è dedicato ai sistemi non lineari in più di due variabili, il § 2 ai sistemi quasi-lineari.
Cfr. p. es.:M. Cinquini-Cibrario,Equazioni non lineari e teoria delle caratteristiche (in «Equazioni alle derivate parziali a caratteristiche reali », C.I.M.E., Varenna, Villa Monastero, 1–10 giugno 1956), Cap. III, § 1, n. 5, p. 116–117, e Cap. IV, § 1, n. 1, p. 140–141.
Cfr. (M), § 2, n. 1, p. 370–371.
Infatti per ogni\(\bar x\) fissato di (0,a) la funzione z(\(\bar x\), yi, ..., yh) è lipschitziana iny i, ...,y h, quindi (cfr.H. Rademacher,Uber partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen meherer Variabeln und über die Transformation d r Doppelintegrale, « Math. Ann. », 79 (1919), 340–359; cfr. in particolare Parte I, n. 3,Teorema I, p. 347) la funzione z(\(\bar x\), yi, ..., yh) è differenziabile iny i, ..., yh per quasi tutte leh-ple (y i, ..., yh).
Si applica qui la nota disuguaglianza diHadamard; cfr. p. es. la dimostrazione diL. Tonelli,Sul teorema di Hadamard relativo al valor maggiorante di un determinante, « Giornale di Matematiche di Battaglini, Vol. XLVII, 212–218.
Cfr.G. Sansone eR. Conti, Equazioni differenziali non lineari, «Monografie matematiche del C N.R », Edizioni Cremonese, Roma 1956, Cap. I, § 2, n. 1, p. 15–16. St vede subito che nel caso attuale ilLemma diGronwall si può applicare, senza preoccuparsi se la funzioneU(x) (certo limitata, non negativa e quasi-continua in (0,a 1)), sia inoltre continua oppure no in (0,a 1).
Cfr. (M), § 3, n. 2.Teorema IV, p. 402–403; in tale teorema sono fatte ipotesi notevolmente più restrittive delle attuali circa le funzionif i(x, yi, ..., yh; zi, ..., zm), (i=1, 2, ..,m).
Cfr. (M), § 3, n. 1,Teorema III, p. 397–402. Le attuali ipotesi, relative alle funzionif i(x, yi, ... , yh; zi, ..., zm) sono notevolmente più ampie.
Cfr.C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle Funktionen, Teubner, Leipzig, 1918 ofr. Kap. XI, pp. 665–688, e in particolare, n. 582, p. 672, n. 583, p. 674.
A. Douglis,Some existence theorems for hyperbolic systems of partial differential equations in two independent variables, « Comm. pure appl. Math. », vol. V, (1952), 119–154, cfr. § 3, p. 128–129.
M. Cinquini-Cibrario,Nuovi teoremi di esistenza e di unicità per sistemi di equazioni a derivate parziali, « Ann. della Scuola Normale Superiore di Pisa », (3), IX, 1955, 65–113.
Cfr. l. c. in (27), § 4, n. 24,Teorema VI, p 107, e n. 23,Teorema VII, p. 111–112; in questi due teoremi le ipotesi relative alle funzionif i(x, y; zi, ..., zm) sono notevolmente più restrittive delle attuali.
S. Cinquini, l. c. in (2), § 2, p. 969–978 per il sistema (a′).
S. Cinquini,Un teorema di unicità per sistemi di equazioni a derivate parziali del primo ordine, « Rendic. Acc. Naz. dei Lincei », (VIII), XVII, 1954, Nota I, p. 188–191, Nota II, p. 339–344, per il sistema (b′).
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A Giovanni Sansone nel suo 70mo compleanno.
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Cinquini-Cibrario, M. Teoremi di unicità per sistemi di equazioni a derivate parziali in più variabili indipendenti. Annali di Matematica 48, 103–134 (1959). https://doi.org/10.1007/BF02410660
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02410660