E-methods for fixed point equations f(x)=x

Abstract

This paper provides newly implemented [11], [13] and widely applicable methods for, computing inclusion (i. e. a containing interval) (Einschließung) of the solution of a fixed point equationf(x)=x as well as autmatic verification the existence (Existenz) and uniqueness (Eindeutigkeit) of the solution. These methods make essential use of a new computer arithmetic defined by semimorphisms as developed in [7] and [8]. We call such methods E-Methods in correspondance to the three German words. A priori estimations such as a bound for a Lipschitz constant etc. are not required by the new algorithm. So the algorithm including the a posteriori proof of existence and uniqueness of the fixed point is programmable on computers for linear as well as for nonlinear problems. This is a key feature of our results. The computations produced by E-methods deliver answers the components of which have accuracy better than 10^−t+1 (wheret denotes the mantissa length employed in the computer).

Zusammenfassung

Es werden neuartige sehr allgemeine Methoden vorgestellt, die sowohl eine Einschließung der Lösung von Fixpunktgleichungenf(x)=x als auch automatisch dieExistenz und gegebenenfallsEindeutigkeit der Lösung nachweisen. Diese Methoden machen wesentlichen Gebrauch von neuen Rechnerarithmetiken, die charakterisiert sind wie in [2], [7] und [8] entwickelt. Wir nennen solche Methoden E-Methoden in Übereinstimmung mit den drei Anfangsbuchstaben. A-priori-Abschätzungen wie z. B. für Schranken von Lipschitzkonstanten sind nicht mehr notwendig. Daher ist es in eleganter Weise möglich, Algorithmen zu implementieren, die einen automatischen Existenz- und Eindeutigkeitsnachweis für den Fixpunkt von linearen und nichtlinearen Fixpunktgleichungen ermöglichen. Die mit E-Methoden berechneten Lösungen haben i. a. eine relative Genauigkeit, die besser als 10^−t+1 ist (wobeit die Mantissenlänge des verwendeten Rechners bezeichnet).