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Über die Einordnung des Hauptsatzes der Uniformisierung in die Weierstraßische Funktionentheorie

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  1. J. Plemelj, Die Grenzkreisuniformisierung der analytischen Gebilde. Monatsh. f. Math. und Phys. Bd. 23 (1912), S. 297–304.

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  2. P. Koebe, Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung III, Crelles Journal 147 (1917), S. 67–104.

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  3. Auch Hr. Koebe behandelt Crelle 147 die konforme Abbildung Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Indessen schwenkt er sehr bald wieder zu Kreisscheibenbedeckungen ab. Zwar trägt er dadurch ein neues topologisches Element in die Betrachtung, zwar läßt er damit unnötigerweise die zugrunde gelegte Definition der Riemannschen Mannigfaltigkeit im Stich, aber er erreicht so immerhin einen engeren Anschluß an die äußere Fassung einer von Herrn Carathéodory behandelten Aufgabe.

  4. Es läßt sich (vgl. Koebe: Crelle 147) zeigen, daß diese Bedingung eine Folge der übrigen ist.

  5. Bieberbach: 1. Zur Theorie und Praxis der konformen Abbildung. Pal. Rend. Bd. 38 (1914), S. 98–112. 2. Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. Berl. Sitzgs.-Ber. 1916. S. 940–955. 3. Einführung in die konforme Abbildung. Berlin 1915.

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  6. Bieberbacha a. O. 1 u. 3.

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  7. Vgl. auch die einfachere Ableitung des Herrn Pick: Wiener Ber. 1917, S. 248.

  8. Herr Painlevé (C. R. 112) und Herr Lichtenstein (Crelle 140) haben noch die Winkelproportionalität der Eckenabbildung erkannt. Unsere Überlegung würde die Winkelproportionalität auf unsere anstoßenden Winkelräume übertragen. Der so entstehende Satz spielt meines Erachtens eine wichtige Rolle in der Mittag-Lefflerschen Theorie der analytischen Fortsetzung. Denn er ermöglicht erst in allgemeinen Fällen die Anwendung eines von Herrn M. Riesz (Pal. Rend. 30 (1910), S. 339–345) angegebenen Hülfssatzes. Herr Riesz selbst hat nur bei einer speziellen erzeugenden Figur seinen Satz angewandt. Herr Mittag-Leffler selbst bemerkt gelegentlich (Münch. Ber 1915, S. 142), die Anwendbarkeit des Rieszschen Satzes sei auf spitzwinklige sternerzeugende Figuren beschränkt. Bei dieser Sachlage glaube ich, daß die genannten Herren die Rolle übersehen haben, die der hier angegebene Satz als Bindeglied spielt. Er verlangt nur analytischen Charakter der die Ecke bildenden Kurven. Also können sogar gewisse nicht schlichte sternerzengende Figuren in Betracht gezogen werden. Damit werden zum ersten Male mehrblättrige Starne in die Mittag-Lefflersche Theorie eingeführt.

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  1. Frankfurt am Main

    Ludwig Bieberbach

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  1. Ludwig Bieberbach
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Bieberbach, L. Über die Einordnung des Hauptsatzes der Uniformisierung in die Weierstraßische Funktionentheorie. Math. Ann. 78, 312–331 (1917). https://doi.org/10.1007/BF01457107

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