Dual method for the solution of a one-stage stochastic programming problem with random RHS obeying a discrete probability distribution

Abstract

In this paper we present a method for the solution of a one stage stochastic programming problem, where the underlying problem is an LP and some of the right hand side values are random variables. The stochastic programming problem that we formulate contains probabilistic constraint and penalty, incorporated into the objective function, used to penalize violation of the stochastic constraints. We solve this problem by a dual type algorithm. The special case where only penalty is used while the probabilistic constraint is disregarded, the simple recourse problem, was solved earlier by Wets, using a primal simplex algorithm with individual upper bounds. Our method appears to be simpler. The method has applications to nonstochastic programming problems too, e.g., it solves the constrained minimum absolute deviation problem.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird eine Methode vorgestellt zur Lösung einstufiger stochastischer Programme, wobei das zugrundeliegende Problem ein LP mit zufälligen rechten Seiten darstellt. Das resultierende stochastische Programm enthält Wahrscheinlichkeitsrestriktionen und Strafterme, letztere innerhalb der Zielfunktion zur Bestrafung von Abweichungen in den stochastischen Restriktionen. Wir lösen dieses Problem mit einem dualen Algorithmus. Der Spezialfall, in dem ausschließlich Strafterme benutzt werden und Wahrscheinlichkeitsrestriktionen unberücksichtigt bleiben, d.h. das einfache Kompensationsmodell, wurde bereits früher von Wets mittels eines primalen Simplex-Algorithmus mit einzelnen oberen Schranken gelöst. Unsere Methode scheint einfacher zu sein. Die Methode ist auch auf nicht-stochastische Programme anwendbar, z.B. auf das Problem minimaler absoluter Abweichungen von Nebenbedingungen.