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Application of the singularity method for the formulation of plane elastostatical boundary value problems as integral equations

Anwendung der Singularitätenmethode zur Formulierung von Randwertproblemen der ebenen Elastostatik als Integralgleichungen

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Summary

A method for the formulation of elastostatical boundary value problems as integral equations is presented, the basic idea of which consists of superimposing in a suitable fashion singular solutions for the infinite medium. Since mechanical aspects play an important role in the concept of the method, all quantities in the equations can be interpreted physically. The applicability of the method is illustrated by examples of the geometrical and statical boundary value problem ofplane elastostatics for which 32 different formulations as integral equations are established.

The second aim of the paper consists of revealing an analogy between the most important notions of the singularity method, viz. between state variables and singularities. The analogy is manifested by certain symmetries of influence functions, and enables the systematical representation of the basic relations and their interpretation within a larger context.

Zusammenfassung

Es wird eine Methode zur Formulierung von Randwertproblemen der Elastostatik als Integralgleichungen beschrieben, deren Grundgedanke darin besteht, singuläre Lösungen für das unendliche Medium in geeigneter Weise zu überlagern. Da beim Aufstellen der Gleichungen mechanische Gesichtspunkte im Vordergrund stehen, lassen sich alle auftretenden mathematischen Größen physikalisch deuten. Die Anwendbarkeit der Methode wird anhand des geometrischen und des statischen Randwertproblems derebenen Elastostatik erklärt. Es ergeben sich dabei 32 verschiedene Formulierungen der Probleme als Integralgleichungen.

Weiterhin wird in dem Aufsatz eine Analogie zwischen den wichtigsten Begriffen der Singularitätenmethode, den Zustandsgrößen und den Singularitäten, aufgedeckt. Die Analogie macht sich durch gewisse Symmetrien der Einflußfunktionen bemerkbar und erlaubt es, die grundlegenden Beziehungen systematisch darzustellen und in einen größeren Zusammenhang einzuordnen.

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Abbreviations

χ:

Airy's stress function

u i :

displacement vector

πi :

stress function vector

U ij :

distortion tensor

∏ ij :

stress tensor

U i :

distortion vector

{ei33-3}:

stress vector

N :

collective denotation for state variables

v :

wedge dislocation

C i :

edge dislocation

R i :

single force

G i :

Rieder's singularity

F i :

Massonnet's singularity

c i :

generating vector ofc ij

r i :

generating vector ofr ij

g i :

generating vector ofg ij

f i :

generating vector off ij

c ij :

dipole ofC i

r ij :

dipole ofR i

g ij :

dipole ofG i

f ij :

dipole ofF i

M :

collective denotation for singularities

m i :

dipole of a singularityM

d :

moment of a force dipole

b :

dilation intensity of a force dipole

(NM):

collective denotation for influence functions further influence functions: see Chapters 4.1, 4.2

[NM]:

collective denotation for proportionality factors of non integral terms corresponding to (NM). further proportionality factors see Chapter 8

x i,\(\bar x_i\) :

radius vector of the field and source point respectively

\(\bar x_i\),q i :

vector and unit vector respectively in the direction of the connecting line between the field and the source point

ϱ:

distance between the field and the source point

S :

curve on the infinite plane congruent to the boundary of the elastic body

S 1,S 2 :

sections ofS

Ŝ :

curve equidistant fromS

s,\(\bar s\) :

arc length of a field and a source point respectively onS

ŝ :

arc length of a field point onŠ

ni,\(\bar n_i\) :

normal vector ofS at the field and the source point respectively

κ:

curvature ofS

∂i,\(\bar \partial _i\) :

vector of differentiation with respect to field and source point co-ordinates respectively

δij :

identity tensor

e ij :

permutation tensore 11=e 22=0e 12=−e 21=1

m :

Poisson's ratio

G :

shear modulus

\(\left| {\oint {} } \right|\left| {\int {} } \right|\) :

Cauchy principal value

b i :

arbitrary constant vector

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  1. Institut für Technische Mechanik, Technische Hochschule Aachen, D-5100, Aachen, Bundesrepublik Deutschland

    U. Heise

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  1. U. Heise
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Heise, U. Application of the singularity method for the formulation of plane elastostatical boundary value problems as integral equations. Acta Mechanica 31, 33–69 (1978). https://doi.org/10.1007/BF01261186

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