Thermodynamics, real and complex periods of the Volterra model

Abstract

The Lotka-Volterra model is converted into a Hamiltonian system. For this system the Gibbs state and the thermodynamic functions as free energy, entropy, expectation and variances of the Hamiltonian and its summands are calculated together with expansions for low and high temperatureβ ⁻¹.

Since the canonical partition functionZ (β, λ, μ) is the Laplace transform of the energy-period functionT(E, λ, μ), we obtain expansions ofT (E, λ, μ) for small and large energyE=H (p, q) and arbitrary parametersλ, μ by inverse Laplace transformation of the partition functionZ (β, λ, μ). Expansions of the partial orbit times T_±±, i.e. the part of the periodT with predator and prey above or below equilibrium values, are available, too. By expressingT(E, λ, μ) as a convolution integral, we derive global inequalities, e. g. the function (log (E/μ), log (E/λ)) → log (ET) (E, λ, μ) is convex on the whole domainR ² and (E/T) (∂T/∂E) ∈ (0, 1) globally. Finally the analytic continuation of the functionT=T (E, λ, μ) to the left- as well as right halfplane ReE<0 and ReE>0 can be expressed by Laplace transforms.

Zusammenfassung

Das Lotka-Volterra Modell wird in ein Hamiltonsches System umgeformt. Für dieses System kann man den Gibbszustand und die thermodynamischen Funktionen wie freie Energie, Entropie sowie Erwartungswerte und Varianzen der Hamiltonfunktion und ihrer Summanden berechnen und Entwicklungen für niedrige als auch hohe Temperaturβ ⁻¹ angeben.

Da die kanonische ZustandssummeZ (β, λ, μ) die Laplacetransformierte der Energie-Perioden FunktionT=T(E, λ, μ) ist, erhält man durch Umkehrung der Laplacetransformation Entwicklungen vonT (E, λ, μ) für kleine sowie große EnergieE=H(p, q). Durch spezielle Manipulationen bekommt man sogar Entwicklungen der PeriodenteileT _±±, das sind die Intervalle während denen Räuber bzw. Beute ober- bzw. unterhalb der Gleichgewichte liegen. Mit Hilfe einer Darstellung vonT(E, λ, μ) als Faltungsintegral beweist man globale Ungleichungen, z. B. ist die Funktion (log (E/μ), log (E/λ)) → log (ET) (E, λ, μ) auf dem ganzen DefinitionsbereichR ² konvex und (E/T) (∂T/∂E) ∈ (0,1).

Schlußendlich läßt sich die analytische Fortsetzung der FunktionT(E, λ, μ) in die linke sowie rechte Halbebene ReE< 0 bzw. ReE> 0 durch ein Laplaceintegral darstellen.