Parametric excitation of an internally resonant double pendulum

Summary

A system of two weakly damped, nonlinearly coupled pendulums with (uncoupled) natural frequencies ofω ₁ andω ₂≅ 2ω ₁ is subjected to a small, vertical oscillation of frequency 2ω≅2ω ₁. The resulting motion (after transients have decayed) may be either a simple (rigid-body) translation of the entire system or coupled oscillations of the pendulums superimposed on such a translation. The stability of these two types of motion is examined and their parametric domains established. There are no Hopf bifurcations, in consequence of which neither periodically modulated nor chaotic motions appear to be possible (for weak excitation). The corresponding problem for a symmetric triple pendulum is shown to be isomorphic to that for the double pendulum.

Zusammenfassung

Ein System von schwach gedämpften, nichtlinear gekoppelten Pendeln mit den (ungekoppelten) natürlichen Frequenzenω ₁ undω ₂≅2ω ₁ wird vertikalen erzwungenen Schwingungen mit der Frequenz 2ω≅2ω ₁ unterworfen. Die entstehende Bewegung ist (nach dem Abklingen von temporären Bewegungsanteilen) entweder eine einfache Translation des (starren) Systems oder aber eine solche Translation mit überlagerten gekoppelten Schwingungen der Pendel. Die Stabilität dieser beiden Bewegungstypen wird untersucht, und ihr parametrischer Gültigkeitsbereich wird bestimmt. Es gibt keine Hopf-Bifurkationen, so daß weder periodisch modulierte noch chaotische Bewegungen möglich erscheinen (für schwache Erregungen). Das entsprechende Problem für ein symmetrisches Dreifach-Pendel ergibt sich isomorph zu dem des Doppel-Pendels.