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The spectra of some integral operators for plane elastostatical boundary value problems

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Abstract

In this paper 16 integral equations for the geometrical and statical boundary value problem of plane elastostatics are systematically compiled. As the equations are formulated with the aid of the singularity method it is possible to interpret mechanically all quantities occurring in them.

The compilation contains equations of the first and of the second kind with regular, logarithmic and singular kernels. Because of the variety of types the integral equations are by no means equally suited for numerical treatment. To be able to judge the numerical suitability and to reject ill conditioned equations the spectra of the related integral operators are investigated. As it is too expensive to calculate the cigenvalues and eigenfunctions for arbitrarily shaped bodies in every individual case the eigenvalue problem for the circular disc is dealt with. From the results strong conclusions are drawn concerning the solubility properties of integral equations for more complicated shaped slices.

The main aim of this paper does not consist of compiling various integral representations of the plane elastostatical problem, but to provide an easy working method to judge the numerical suitability of integral equations for boundary value problems similar to those dealt with here. The variety of examples is needed to illustrate systematically the full scope of the method.

Zusammenfassung

In diesem Aufsatz werden 16 Integralgleichungen für das geometrische und statische Randwertproblem der ebenen Elastostatik systematisch zusammengestellt. Da die Gleichungen mit Hilfe der Singularitätenmethode aufgestellt werden, lassen sich alle in ihnen auftretenden Größen mechanisch deuten. Die Zusammenstellung enthält Gleichungen erster und zweiter Art mit regulären, logarithmischen und singulären Kernen. Wegen der Vielfalt der Typen eignen sich keineswegs alle Integralgleichungen in derselben Weise zur numerischen Behandlung. Um die numerische Brauchbarkeit beurteilen und schlecht konditionierte Gleichungen aussortieren zu können, werden die Spektren der zugehörigen Integraloperatoren untersucht. Da es bei beliebig geformten Scheiben zu aufwendig ist, die Eigenwerte und Eigenfunktionen in jedem Einzelfall zu berechnen, wird das Eigenwertproblem für die Kreisscheibe behandelt. Aus den Ergebnissen lassen sich aussagekräftige Schlüsse bezüglich der Lösbarkeitseigenschaften von Integralgleichungen für komplizierter gestaltete Körper ziehen.

Der Hauptzweck dieses Aufsatzes besteht nicht darin, eine Zusammenstellung verschiedenartiger Integraldarstellungen für das ebene elastostatische Problem zu liefern, sondern eine einfache Methode zur Beurteilung der numerischen Brauchbarkeit von Integralgleichungen für Randwertprobleme anzugeben, die dem hier behandelten artverwandt sind. Die Vielfalt der Beispiele dient dazu, den weiten Anwendungsbereich des Verfahrens systematisch aufzuzeigen.

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Authors and Affiliations

  1. Institut für Technische Mechanik, Technische Hochschule, 51, Aachen, Germany

    U. Heise

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  1. U. Heise
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Heise, U. The spectra of some integral operators for plane elastostatical boundary value problems. J Elasticity 8, 47–79 (1978). https://doi.org/10.1007/BF00044510

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  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF00044510

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