The agro-food industry, public health, and environmental protection: investigating the Porter hypothesis in food regulation

Abstract

Sustainable food concerns have pushed public authorities to act by means of regulations, standards and other devices, and businesses to innovate in their products and production processes. We argue that the Porter hypothesis—which asserts that properly designed and implemented environmental regulation might be good for society as well as the targeted firms—might well be verified in this context. After reviewing and illustrating the working principles and main criticisms of this hypothesis, we provide a more in-depth discussion of nutritional issues. While the literature generally points to organizational imperfections and market failures to validate the Porter hypothesis, we submit and model another rationale for the agro-food industry, a rationale that is based on consumer behavior.

Appendices

Appendix

Covered market condition

U ₁ > 0 if and only if $\mathsf{y}<{\overline{\mathsf{y}}}_{\mathsf{1}}=\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{1}}}{\alpha }$ and U ₂ > 0 if and only if $\mathsf{y}>{\overline{\mathsf{y}}}_{\mathsf{2}}=\frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{2}}}{\alpha }$

Moreover, U ₁ > U ₂ if and only if $\mathsf{y}<\widehat{\mathsf{y}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{1}},{\mathsf{k}}_{\mathsf{2}}\right)=\frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{2}}+{\mathsf{k}}_{\mathsf{1}}+\alpha }{\mathsf{2}\alpha }$

The market is covered if and only if ${\overline{\mathsf{y}}}_{\mathsf{2}}\le \widehat{\mathsf{y}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{1}},{\mathsf{k}}_{\mathsf{2}}\right)\le {\overline{\mathsf{y}}}_{\mathsf{1}}$, that is to say:

$$ {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\le \alpha +{\mathsf{k}}_{\mathsf{1}}+{\mathsf{k}}_{\mathsf{2}} $$

(C)

The market is covered whenever the offered qualities are sufficiently high relative to product selling price.

Case in which both firms adopt the Conv strategy

In this case, consumers unanimously feel that the quality offered by each firm is at level K _H .

Equilibrium with a covered market

The demand for firm 1’s products is such that ${\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}=\widehat{\mathit{\mathsf{y}}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}},{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right)$ and the profit ${\varPi}_{\mathsf{1}}=\left({\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} \overline{\mathsf{c}}\right)\ \widehat{\mathsf{y}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}},{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right)$.

The condition for first-order maximization of firm 1’s profits gives ${\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}\left({\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}+\overline{\mathsf{c}}+\alpha \right)$.

By symmetry, we obtain the equivalent condition for firm 2, which gives the equilibrium price ${\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\overline{\mathsf{c}}+\alpha$ and the market shares ${\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}$. The covered market condition is thus equivalent to:

$$ {\mathrm{k}}_{\mathit{\mathsf{H}}}\ge \overline{\mathsf{c}}+\frac{\alpha }{\mathsf{2}} $$

(C1)

E1 equilibrium: firms choose a conventional strategy, and under condition (C1), there is a single equilibrium with a covered market such that ${\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\overline{\mathsf{c}}+\alpha$, ${\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}$ and ${\varPi}_1^{*}={\varPi}_2^{*}=\frac{\alpha }{2}$. In this equilibrium, profits do not depend on variable production costs.

Equilibrium with an uncovered market

The demand for firm 1’s products can now be written as ${\mathsf{D}}_{\mathsf{1}} = {\overline{\mathsf{y}}}_{\mathsf{1}}=\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathit{\mathsf{H}}}}{\alpha }$The condition for first-order maximization of profit gives ${\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}\left({\mathsf{k}}_{\mathit{\mathsf{H}}}+\overline{\mathsf{c}}+\alpha \right)$.

By symmetry, we obtain the equivalent condition for firm 2. The uncovered market condition is thus equivalent to:

$$ {\mathrm{k}}_{\mathit{\mathsf{H}}}<\overline{\mathsf{c}}-\alpha $$

(C2)

Both firms obtain a strictly positive profit in equilibrium if and only if:

$$ {\mathrm{k}}_{\mathit{\mathsf{H}}}>\overline{\mathsf{c}}-\alpha $$

(C2’)

We can note that the conditions (C1) and (C2) are never compatible with one another.

E2 equilibrium: firms choose a conventional strategy, and under conditions (C1) and (C2)’, there is a single equilibrium with an uncovered market in which both firms make a strictly positive profit. This equilibrium is such that ${\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}\left({\mathsf{k}}_{\mathit{\mathsf{H}}}+\overline{\mathsf{c}}+\alpha \right)$, ${\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\alpha +{k}_H-\overline{\mathsf{c}}}{2\alpha }$ and ${\varPi}_1^{*}={\varPi}_2^{*}=\frac{1}{4\alpha }{\left(\alpha +{k}_H-\overline{\mathsf{c}}\right)}^2$.

Case in which both firms adopt an Innov strategy

In this case, only informed consumers feel that the quality offered by both firms is at level K _H . A proportion (1-l) of consumers feels that the quality is at level K _L .

Equilibrium with a covered market

The demand for firm 1’s products is written as:

$$ {\mathsf{D}}_1=\mathsf{I}\;\widehat{\mathsf{y}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}},{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right) + \left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\Big)\kern1em \widehat{\mathsf{y}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{L}},{\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right) = \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+\alpha }{\mathsf{2}\alpha } $$

The equilibrium can thus be deduced form the first situation in the E1 equilibrium, but this time with a marginal production cost at level $\underline {\mathrm{c}}$. The equilibrium prices are such that ${\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\underline {\mathsf{c}}+\alpha$ and the market shares ${\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}$. The covered market conditions for both consumer types are written as:

$$ \left\{\begin{array}{c}\hfill {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\le \alpha +\mathsf{2}{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hfill \\ {}\hfill {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\le \alpha +\mathsf{2}{\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\hfill \end{array}\right.\iff \kern0.48em {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\ge \underline {\mathrm{c}}+\frac{\alpha }{\mathsf{2}} $$

(C3)

E3 equilibrium: firms choose a conventional strategy, and under condition (C3), there is a single equilibrium with a covered market, such that: ${\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\underline {\mathrm{c}}+\alpha$, ${\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}$ and ${\varPi}_1^{*}={\varPi}_2^{*}=\frac{\alpha }{2}-F$. In this equilibrium, profits do not depend on variable production costs.

Equilibrium with an uncovered market for uninformed consumers

We now assume that for the proportion I of consumers, the market is covered whereas it is uncovered for the proportion (1-I) of consumers. In this hypothesis, the demand for firm 1’s products is written as:

$$ {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}=\mathsf{I}\left(\frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+\alpha }{\mathsf{2}\alpha}\right)+\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}}{\alpha}\right) $$

The first-order profit maximization condition ${\varPi}_{\mathsf{1}}=\left({\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} \underline {\mathsf{c}}\right)\ {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} \mathsf{F}$ gives:

$$ \mathsf{2}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} \mathsf{I}{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}=\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left[\underline {\mathsf{c}}\hbox{-} \mathsf{I}{\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\left(\alpha +{\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right] $$

We thus obtain the symmetrical equilibrium:

$$ {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{3}\mathsf{I}}\left[\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\underline {\mathsf{c}}+\alpha \right)+\mathsf{2}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right] $$

The covered market condition for informed consumers gives:

$$ \mathsf{2}\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{3}\mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} \mathsf{4}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\ge \mathsf{2}\underline {\mathrm{c}}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)+\alpha \mathsf{I} $$

(C4)

The uncovered market condition for uninformed consumers gives:

$$ {\mathsf{k}}_L<\underline {\mathrm{c}}+\frac{\alpha \mathsf{I}}{\mathsf{2}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)} $$

(C4)’)

E4 equilibrium: firms choose an innovation strategy, and under conditions (C4) and (c4)’, there is a single equilibrium with an uncovered market, such that:

$$ \begin{array}{l}{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{3}\mathsf{I}}\left[\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\underline {\mathsf{c}}+\alpha \right)+\mathsf{2}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right]\hfill \\ {}{\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}^{*}={\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)}{\mathsf{2}\alpha \left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{3}\mathsf{I}\right)}\left[\alpha \left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)+\mathsf{2}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\hbox{-} \underline {\mathrm{c}}\right)\right]\hfill \\ {}{\varPi}_{\mathsf{1}}^{*}={\varPi}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)}{\mathsf{2}\alpha }{\left[\frac{\alpha \left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\hbox{-} \mathsf{2}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\hbox{-} \underline {\mathrm{c}}\right)}{\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{3}\mathsf{I}\right)}\right]}^{\mathsf{2}}\hbox{-} \mathsf{F}\hfill \end{array} $$

In this equilibrium, the market is covered for informed consumers and uncovered for uninformed consumers.

Case in which only firm 2 adopts an Innov strategy

In this case, all consumers feel that the quality offered by firm 1 is at level k _H whereas only informed consumers feel that the quality offered by firm 2 is at level k _H . A proportion (1-I) of consumers feel that the quality offered by firm 2 is at level k _L .

Equilibrium with a covered market

In a covered market hypothesis, both informed and uninformed consumers decide to buy from one or the other of these two firms. We obtain a demand addressed to each firm:

$$ \left|\begin{array}{c}\hfill {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}=\frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+\alpha +\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)}{\mathsf{2}\alpha}\hfill \\ {}\hfill {\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}=\mathsf{1}\hbox{-} {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}\hfill \end{array}\right. $$

The first-order profit maximization condition ${\varPi}_{\mathsf{1}}=\left({\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} \overline{\mathsf{c}}\right)\ {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}$ gives:

$$ {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}+\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}\left[\alpha +\overline{\mathsf{c}}+\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right] $$

The first-order profit maximization condition ${\varPi}_{\mathsf{2}}=\left({\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} \underline {\mathsf{c}}\right)\ {\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}$ gives:

$$ {\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}\left[\alpha +\underline {\mathrm{c}}+\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right] $$

We thus obtain the equilibrium:

$$ \left|\begin{array}{c}\hfill {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{3}}\left[\mathsf{2}\overline{\mathsf{c}}+\underline {\mathrm{c}}+\mathsf{3}\alpha +\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right]\hfill \\ {}\hfill {\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{3}}\left[\overline{\mathsf{c}}+\mathsf{2}\underline {\mathrm{c}}+\mathsf{3}\alpha \hbox{-} \left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right]\hfill \end{array}\right. $$

The covered market condition for informed and uniformed consumers gives:

$$ {\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}+{\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\ge \alpha +\underline {\mathrm{c}}+\overline{\mathsf{c}} $$

(C5)

E5 equilibrium: firm 1 chooses a conventional strategy and firm 2 an innovation strategy. Under condition (C5), there is a single equilibrium with a covered market, such that:

$$ \left|\begin{array}{l}{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{3}}\left[\mathsf{2}\overline{\mathsf{c}}+\underline {\mathrm{c}}+\mathsf{3}\alpha +\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right]\hfill \\ {}{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{3}}\left[\overline{\mathsf{c}}+\mathsf{2}\underline {\mathrm{c}}+\mathsf{3}\alpha \hbox{-} \left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right]\hfill \\ {}{\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{6}\alpha}\left[\underline {\mathrm{c}}\hbox{-} \overline{\mathsf{c}}+\mathsf{3}\alpha +\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right]\hfill \\ {}{\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{6}\alpha}\left[\overline{\mathsf{c}}\hbox{-} \underline {\mathrm{c}}+\mathsf{3}\alpha \hbox{-} \left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right]\hfill \\ {}{\varPi}_{\mathsf{1}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{1}\mathsf{8}\alpha }{\left[\underline {\mathrm{c}}\hbox{-} \overline{\mathsf{c}}+\mathsf{3}\alpha +\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right]}^2\hfill \\ {}{\varPi}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{1}\mathsf{8}\alpha }{\left[\overline{\mathsf{c}}\hbox{-} \underline {\mathrm{c}}+\mathsf{3}\alpha \hbox{-} \left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\right]}^2\hbox{-} \mathsf{F}\hfill \end{array}\right. $$

Equilibrium with an uncovered market for informed and uninformed consumers

In the uncovered market hypothesis for both kinds of consumer, we obtain a demand for both forms’ products:

$$ \left|\begin{array}{c}\hfill {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}=\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}}{\alpha}\hfill \\ {}\hfill {\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}=\mathsf{I}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}}{\alpha}\right)+\left(1-\mathsf{I}\right)\left(\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}}{\alpha}\right)\hfill \end{array}\right. $$

The first-order profit maximization condition ${\varPi}_{\mathsf{1}}=\left({\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} \overline{\mathsf{c}}\right)\ {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}$ gives:

$$ {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}\left(\alpha +\overline{\mathsf{c}}+{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right) $$

The first-order profit maximization condition ${\varPi}_{\mathsf{2}}=\left({\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} \underline {\mathrm{c}}\right)\ {\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}$ gives:

$$ {\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}\left[\alpha +\underline {\mathrm{c}}+\mathsf{I}{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}+\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right] $$

The uncovered market conditions are written as:

$$ \left|\begin{array}{c}\hfill {\overline{\mathsf{y}}}_{\mathsf{1}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right)<{\overline{\mathsf{y}}}_{\mathsf{2}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right)\hfill \\ {}\hfill {\overline{\mathsf{y}}}_{\mathsf{1}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right)<{\overline{\mathsf{y}}}_{\mathsf{2}}\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right)\hfill \end{array}\right.\iff {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}>\alpha +\mathsf{2}{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}} $$

We obtain:

$$ \left(\mathsf{3}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} \left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}<\underline {\mathsf{c}}+\overline{\mathsf{c}} $$

(C6)

E6 equilibrium: firm 1 chooses a conventional strategy and firm 2 an innovation strategy. Under condition (C6), there is a single uncovered market equilibrium, such that:

$$ \left|\begin{array}{c}\hfill {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{2}\left(\overline{\mathsf{c}}+\alpha +{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right)\hfill \\ {}\hfill {\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{2}\left[\underline {\mathrm{c}}+\alpha +\mathsf{I}{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}+\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right]\hfill \\ {}\hfill {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}\alpha}\left(\alpha \hbox{-} \overline{\mathsf{c}}+{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right)\hfill \\ {}\hfill {\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}\alpha}\left[\alpha \hbox{-} \underline {\mathrm{c}}+\mathsf{I}{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}+\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right]\hfill \\ {}\hfill {\varPi}_{\mathsf{1}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{4}\alpha }{\left[\alpha \hbox{-} \overline{\mathsf{c}}+{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\right]}^2\hfill \\ {}\hfill {\varPi}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{4}\alpha }{\left[\alpha \hbox{-} \underline {\mathrm{c}}+\mathsf{I}{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}+\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\right]}^2\hbox{-} \mathsf{F}\hfill \end{array}\right. $$

Incompatibility of constraints (C5) and (C6)

We can easily show that (C5) and (C6) are incompatible with one another if and only if:

$$ {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}<\frac{\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\underline {\mathsf{c}}+\overline{\mathsf{c}}\right)+\alpha \left(\mathsf{3}\hbox{-} \mathsf{I}\right)}{\mathsf{2}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)} $$

(C7)

Equilibrium with an uncovered market only for uninformed consumers

In the uncovered market hypothesis for uninformed consumers, we obtain the demand for both firms’ products:

$$ \left|\begin{array}{c}\hfill {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}=\mathsf{I}\left(\frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+\alpha }{\mathsf{2}\alpha}\right)+\left(1-\mathsf{I}\right)\left(\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}}{\alpha}\right)\hfill \\ {}\hfill {\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}=\mathsf{I}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+\alpha }{\mathsf{2}\alpha}\right)+\left(1-\mathsf{I}\right)\left(\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}}{\alpha}\right)\hfill \end{array}\right. $$

The first-order profit maximization condition ${\varPi}_{\mathsf{1}}=\left({\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} \overline{\mathsf{c}}\right)\ {\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}$ gives:

$$ \mathsf{2}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}=\mathsf{I}{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}+\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\alpha +\overline{\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}\ \left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{H}} $$

The first-order profit maximization condition ${\varPi}_{\mathsf{2}}=\left({\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} \underline {\mathsf{c}}\right)\ {\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}$ gives:

$$ \mathsf{2}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}=\mathsf{I}{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\alpha +\underline {\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}\ \left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}} $$

We thus obtain the equilibrium:

$$ \left|\begin{array}{c}\hfill {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}=\frac{\mathsf{I}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\alpha +\underline {\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}{\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)}^{\mathsf{2}}\left(\alpha +\overline{\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}\mathsf{I}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}+\mathsf{4}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}}{\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{3}\mathsf{I}\right)}\hfill \\ {}\hfill {\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{I}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\alpha +\overline{\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}{\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)}^{\mathsf{2}}\left(\alpha +\underline {\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}\mathsf{I}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}+\mathsf{4}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}}{\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{3}\mathsf{I}\right)}\hfill \end{array}\right. $$

The market coverage condition for uninformed consumers is written as:

$$ {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}+{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}\le \alpha +\mathsf{2}{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}} $$

(C7)

which is equivalent to:

$$ \left(\mathsf{6}\hbox{-} \mathsf{5}\mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}\hbox{-} \mathsf{2}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}>\alpha \mathsf{I}+\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\underline {\mathsf{c}}+\overline{\mathsf{c}}\right) $$

(C7)

The uncovered market condition for uninformed consumers is written as:

$$ {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}+{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}>\alpha +{\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}+{\mathsf{k}}_{\mathsf{L}} $$

(C7’)

which is equivalent to:

$$ \alpha \mathsf{I}>\left({\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}+{\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}\hbox{-} \underline {\mathrm{c}}\hbox{-} \overline{\mathsf{c}}\right)\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right) $$

(C7’)

E7 equilibrium: firm 1 chooses the convention strategy and firm to the innovation strategy. Under conditions (C7) and (C7)’, there is a single uncovered market equilibrium for uninformed consumers, such that:

$$ \left|\begin{array}{l}{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}^{*}=\frac{\mathsf{I}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\alpha +\underline {\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}{\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)}^{\mathsf{2}}\left(\alpha +\overline{\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}\mathsf{I}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}+\mathsf{4}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}}{\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{3}\mathsf{I}\right)}\hfill \\ {}{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}^{*}=\frac{\mathsf{I}\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\alpha +\overline{\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}{\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right)}^{\mathsf{2}}\left(\alpha +\underline {\mathsf{c}}\right)+\mathsf{2}\mathsf{I}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}+\mathsf{4}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\mathsf{2}\hbox{-} \mathsf{I}\right){\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}}{\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{I}\right)\left(\mathsf{4}\hbox{-} \mathsf{3}\mathsf{I}\right)}\hfill \\ {}{\mathsf{D}}_{\mathsf{1}}=\mathsf{I}\left(\frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+\alpha }{\mathsf{2}\alpha}\right)+\left(1-\mathsf{I}\right)\left(\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{H}}}{\alpha}\right)\hfill \\ {}{\mathsf{D}}_{\mathsf{2}}=\mathsf{I}\left(\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{p}}_{\mathsf{1}}+\alpha }{\mathsf{2}\alpha}\right)+\left(1-\mathsf{I}\right)\left(\mathsf{1}\hbox{-} \frac{{\mathsf{p}}_{\mathsf{2}}\hbox{-} {\mathsf{k}}_{\mathsf{L}}}{\alpha}\right)\hfill \end{array}\right. $$