On properties of sharp normal numbers and of non-Liouville numbers

Abstract

We show that some sequences of real numbers involving sharp normal numbers or non-Liouville numbers are uniformly distributed modulo 1. In particular, we prove that if $\tau (n)$ stands for the number of divisors of n and $\alpha$ is a binary sharp normal number, then the sequence $(\alpha \tau (n))_{n\ge 1}$ is uniformly distributed modulo 1 and that if g(x) is a polynomial of positive degree with real coefficients and whose leading coefficient is a non-Liouville number, then the sequence $(g(\tau (\tau (n))))_{n \ge 1}$ is also uniformly distributed modulo 1.

Résumé

Nous montrons que certaines suites de nombres réels impliquant des nombres normaux robustes et des nombres non-Liouville sont uniformément réparties modulo 1. En particulier, nous démontrons que si $\tau (n)$ représente le nombre de diviseurs de n, alors, étant donné un nombre normal binaire robuste $\alpha$, la suite correspondante $(\alpha \tau (n))_{n\ge 1}$ est uniformément répartie modulo 1 et nous démontrons également que si g(x) est un polynôme à coefficients réels de degré positif et dont le coefficient principal est un nombre non-Liouville, alors la suite $(g(\tau (\tau (n))))_{n \ge 1}$ est uniformément répartie modulo 1.