Spezielle Funktionen – nützliche Helfer

Zusammenfassung

Wir haben inzwischen viele Funktionen kennengelernt, die sich in den verschiedensten Situationen als nützlich oder gar unentbehrlich erwiesen haben. Zu diesen elementaren Funktionen zählen Polynome, Winkelfunktionen, die Exponentialfunktion, Hyperbelfunktionen, Logarithmen, Arkus- und Areafunktionen.

Einige Male sind wir aber auch an die Grenzen dessen gestoßen, was sich mit diesen Funktionen darstellen lässt. Insbesondere bei Integralen und bei Differenzialgleichungen gab es immer wieder Lösungen, die aus dem Bereich der elementaren Funktionen herausführten.

Nun ist unsere Vorstellung von dem, was elementare Funktionen sind, letztlich willkürlich. Man kann das Arsenal der verfügbaren Funktionen ohne Probleme vergrößern, indem man weitere „spezielle Funktionen“ hinzunimmt, die sich nicht mit den bisher verfügbaren elementaren Funktionen darstellen lassen.

Einen solchen Fall, die Gammafunktion, haben wir bereits kennengelernt, ein weiteres wichtiges Beispiel sind etwa die Zylinderfunktionen. Derartige spezielle Funktionen sind in keiner Weise fundamental anders. Wie schon gewohnt werden sie durch Potenzreihen, als Lösungen von Differenzialgleichungen oder als Parameterintegrale gegeben.

Speziell an ihnen ist lediglich, dass ihre Anwendbarkeit auf einen schmaleren Bereich beschränkt ist und sie deswegen auch nicht so bekannt sind. Viele Probleme der angewandten Mathematik führen jedoch auf solche Funktionen – die Schwingung einer kreisförmigen Membran ebenso wie die quantenmechanische Behandlung des Wasserstoffatoms.