Kurven und Flächen – von Krümmung, Torsion und Längenmessung

Zusammenfassung

Unsere Bemühungen, Analysis im Raum zu betreiben, sind inzwischen weit vorangekommen. Wir haben einen Funktionsbegriff zur Verfügung, können Aussagen über Stetigkeit machen, differenzieren und integrieren. Als wesentlich haben sich dabei die Werkzeuge der linearen Algebra erwiesen, lineare Abbildungen ebenso wie die Methoden der analytischen Geometrie.

Gerade bei letzteren liegt momentan aber noch unsere größte Schwäche. Die Geometrie, die wir bisher zur Verfügung haben, kennt Geraden, Ebenen, vielleicht noch Flächen zweiter Ordnung wie Ellipsoide oder Hyperboloide, aber nichts, was darüber hinausgeht.

Auf der anderen Seite können wir mittels Funktionen $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zwar durchaus kompliziertere Kurven und Flächen beschreiben. Die Forderung der Eindeutigkeit jedes Funktionswerts verbietet es uns aber bereits, auch nur einen kompletten Kreis oder eine ganze Kugel durch eine einzelne Funktion darzustellen.

Alle diese Einschränkungen wollen wir nun überwinden und eine völlig allgemeine Art suchen, Kurven in Ebene und Raum, Flächen und Hyperflächen zu behandeln.

Die dazu notwendige Synthese aus Geometrie und Differenzialrechnung wurde früher oft als Differenzialgeometrie bezeichnet. Inzwischen verwendet man diesen Begriff allerdings eher für die abstrakte Verallgemeinerung dessen, was wir hier und auch im folgenden Kapitel studieren wollen.