Tensoren – geschicktes Hantieren mit Indizes

Zusammenfassung

Für die lineare Algebra bedeutete es einen gewaltigen Fortschritt, Vektoren und Matrizen durch jeweils ein einziges Symbol zu bezeichnen, also nicht stets die einzelnen Koordinaten oder Einträge aufschreiben zu müssen. Damit lassen sich nämlich Strukturen viel einfacher erkennen. So wird heute in fast allen Lehrbüchern zur linearen Algebra der koordinatenfreie Zugang bevorzugt.

Andererseits sind bei konkreten Anwendungsproblemen gerade die einzelnen Koordinaten oder Matrizenelemente wesentlich, denn diese vermitteln dem Praktiker oft die wesentlichen Informationen. Die Formeln der Tensorrechnung mit ihrer geschickten Notation erleichtern das Hantieren mit einzelnen Koordinaten sowie deren Transformation bei Änderungen des Koordinatensystems.

Wir werden erkennen, dass Vektoren und Matrizen, sofern sie geometrische oder physikalische Größen repräsentieren, unter dem Begriff eines Tensors zu subsumieren sind. Lineare Abbildungen und Bilinearformen ordnen sich gleichfalls diesem Begriff unter. Aber Tensoren bleiben nicht auf einfach oder zweifach indizierte Größen beschränkt, wir können mit drei und mehr Indizes arbeiten. Nur müssen wir lernen, aus dem Gewirr von Indizes das Wesentliche herauszulesen, und genau das ist ein Ziel dieses Kapitels zur Tensorrechnung. Das Wort Tensor leitet sich übrigens vom lateinischen tendere (spannen) ab und deutet auf eine wichtige Anwendung hin, den Spannungstensor.