Constante de Planck et géométrie symplectique

Résumé

L'introduction de la constante de Planck dans la construction des algèbres de Clifford symplectiques et des groupes "spinoriels" symplectiques permet de donner un cadre géométricoalgébrique à des notions qui pourraient être présentées par le biais plus compliqué, de l'analyse fonctionnelle. Il est remarquable que ce point de vue abstrait s'utilise de manière concrète pour construire des déformations de l'algèbre associative et de l'algèbre de Poisson des fonctions C^∞ au-dessus d'une variété symplectique; le succès de cette méthode repose sur la remarque banale que les algèbres de Clifford symplectiques sont des déformations d'algèbres symétriques, la constante de Planck étant le paramètre de déformation.

Nous donnons différentes propriétés des algèbres de Clifford symplectiques et de groupes de revêtements; nous montrons qu'au-dessus de toute variété symplectique V il existe des déformations pour l'algèbre associative C^∞(V, ℂ) et pour l'algèbre de Poisson. L'algèbre associative C^∞(V, IR) admet des déformations si V est munie d'un champ global d'espaces lagrangiens. L'algèbre réelle de Poisson admet des déformations quelle que soit la variété symplectique. Les déformations construites présentent un caractère universel.