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Literatur
Diese Schlussweise ist zwar schon lange bekannt (vgl. z. B. Plücker, Theorie der algebr. Curven; Einleitung.); die Grenzen ihrer Berechtigung sind indessen erst in jüngerer Zeit angegeben worden. (S. d. folgende Note.)
Nöther, Math. Annalen Bd. VI. S. 351, wo gezeigt wird, dass die Curve αB=0, wenn sie auf die Form der rechten Seite soll gebracht werden können, in jedemi-fachen Punkt vonf=0, in welchemA=0 einenk-fachen Punkt besitzt, entweder gewisse specielle Singularitäten oder wenigstens einenk +i − 1-fachen Punkt haben muss.
Auf einer Curve 7. Ordnung mit 9 Dp. (p=6) kann man (wie weiter unten gezeigt wird) Gruppen von 4 PunktenG 4 so bestimmen, dass durch sie noch eine ∞2-Schaar von adjungirtenC 4 geht. Diese schneiden in einer Schaarg 6(2) , die demnach eine Specialschaar ist. Nach dem oben ausgesprochenen Satzgehört aber dann auch die Gruppe G 4 einer Special-Schaar g 14 an; d. h. durch jede Gruppe der Schaar g 26 lässt sich noch ein ∞1.Büschel von adj. C 4 Legen.
Was unter „adjungirten Curven“ für den Fall einer Curvef mit besonderen Singularitäten zu verstehen ist, wird unten (§ 7.) näher definirt. Mit Rücksicht hierauf haben wir den obigen Satz gleich in seinerallgemeinen Form ausgesprochen.
Gött. Nachrichten 1871, S. 217.
S. Brill, Math. Annalen, Bd. VI. S. 61 ff. (Einen in der Formel für (7)4 (S. 63) befindlichen Fehler verbessere man nach dem Druckfehler-Verzeichniss des Vl. Bandes.)
1st nämlich nur die Lage der Verzweigungspunkte der Riemann'schen Fläche gegeben, so können zwar fürjede der zugehörigen algebraischen Functionen diese Punkte alsdieselben Blätter verbindend angesehen werden (s. Lüroth, Math. AnN. Bd. IV, S. 181 und Clebsch ibid. Bd. VI, S. 216), aber die Art des Zusammenhangs der einzelnen Blätter (die Lage der „Verzweigungsschnitte“) kann immer noch eine wesentlich verschiedene sein. Vgl. Thomae, Borchardt's Journal Bd. 75, S. 224.
Dieser Weg ist vor längerer Zeit schon von Herrn Weierstrass eingeschlagen worden.
Vgl. Jonquières, in Borchardt's Journal Bd. 66, wo indess der vorliegende Fall adjungirter Berührungscurven nicht unmittelbar berücksichtigt ist, sowie Brill, Ueber zwei Berührungsprobleme, Math, Annalcn IV, S. 530.
Additional information
Der vorliegende Aufsatz ist die Ausführung einer in den Göttinger Nachrichten (Febr. 1873) enthaltenen Note der Verfasser. — Ein Auszug aus dem Folgenden ist von Herrn Fiedler in die soeben erschienene Uebersetzung der 2. Ausgabe des Salmon'schen Werkes über höhere ebene Curven aufgenommen worden.
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Brill, A., Nöther, M. Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie. Math. Ann. 7, 269–310 (1874). https://doi.org/10.1007/BF02104804
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02104804