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Literatur
Die Arbeit ist aus einer Beispielsammlung einer von W. Threlfall an der Technischen Hochschule Dresden gehaltenen Topologievorlesung hervorgegangen.
Die reelle Punktmenge der Hypersphäre desR 4, der konforme Raum und der abstrakte dreidimensionale sphärische Raum, der Schauplatz der sphärischen Geometrie, sind isomorph im Sinne von H. Weyl, Philosophie d. Math. u. Naturwiss., Sonderdruck a. d. Handbuch d. Philos. (München 1927), S. 21.
Derkomplexe R 4 ist eine offene Punktmenge, deren Punkte sich umkehrbar eindeutig den Quadrupeln komplexer Zahlen (x 1,x 2,x 3,x 4) zuordnen lassen. Derreelle R 4 geht dadurch aus ihm hervor, daß die Punkte, die in einem bestimmten Koordinatensystem reelle Koordinaten haben, als reelle Punkte ausgezeichnet werden.
Wir treiben hier nicht algebraische Geometrie und bauen daher nicht die reelle sphärische Geometrie in die komplexe der nichtausgearteten Hyperfläche zweiten Grades ein, sondern stellen die unseren topologischen Bedürfnissen genügenden Tatsachen der reellen sphärischen Geometrie zusammen.
Mit Überstreichen wird der Übergang zum konjugiert komplexen Wert bezeichnet.
Ein binäres Gebiet wird von Elementen gebildet, die umkehrbar eindeutig den Paaren von Verhältniszahlenk 1 undk 2 zugeordnet sind.k 1 undk 2 durchlaufen unabhängig alle komplexen Zahlen mit Ausnahme des Paares (0, 0). Man nennt ein binäres Gebiet wohl auch Grundgebilde erster Stufe Vgl. E. Study, Über S. Lies Geometrie der Kreise und Kugeln, Math. Annalen86 (1922), S. 44.
Es ist für unsere Zwecke nicht erforderlich, diese Tatsache analytisch zu verfolgen und die orthogonalen “Drehmatrizen”G r undG l anzugeben, in die sich jede orthogonale MatrixG zerlegen läßt. Vgl. hierzu E. Steinitz, Polyeder und Raumeinteilungen. Enc. math. Wiss. III1, AB 12 (1916),S. 126.
Die punktweise feste Ebene E34 wird von dem ausgezeichneten Vektore und der Drehachsee 3 der starrenR 3-Drehung aufgespannt, E12 liegt in diesemR 3 und steht in ihm senkrecht aufe 3.
É. Goursat, Substitutions orthogonales, Ann. Éc. Norm. (3),6 (1890). Diese ergebnisreiche und leicht lesbare Arbeit behandelt nicht eigentlich die orthogonalen Substitutionen, sondern solche, deren Koeffizienten noch mit einem gemeinsamen willkürlichen Faktor behaftet sind, also nicht die sphärischen Bewegungen desR 4, sondern die elliptischen desP 3, nicht die homogenen orthogonalen Substitutionen von vier inhomogenen, sondern von vier homogenen Veränderlichen. Die endlichen Gruppen dieser Substitutionen — mit unseren Paargruppen 1-isomorph — sind mit einer Ausnahme (§ 4 S. 18 Fußnote und § 4 S. 22) vollständig angegeben. — Da es uns auf eine vollständige Ermittlung aller sphärischen Bewegungsgruppen und nicht der elliptischen ankommt, müssen wir uns der langwierigen Aufgabe ihrer Aufzählung unterziehen und können nicht auf die Goursatsche Arbeit verweisen.
Vgl. auch G. Vivanti, Fonctions polyédriques (Paris 1910), S. 12.
Auch Nebenkomplexe oder Nebengruppen genannt. In der Bezeichnung folgen wir H. Hasse, Höhere Algebra (Sammlung Göschen 1926),I, S. 60.
Die hier eingeführten Bezeichnungen werden in der ganzen Arbeit beibehalten.
Die inneren Automorphismen bilden bekanntlich einen Normalteiler aller Automorphismen; äußere Automorphismen, die in derselben Restklasse des Normalteilers, liegen, zählen wir als nicht verschiedene äußere Automorphismen.
Über Erzeugende und wesentliche Relationen von Gruppen vgl. O. Schreier, Die Untergruppen der freien Gruppen § 2, Abh. Math. Sem. Hamburg5 (1927) und F. Levi, Geometrische Konfigurationen, Leipzig 1929, S. 33. — Die Drehgruppen behandelt als homogene Polyedergruppen R. Fricke, Algebra II (Braunschweig 1926), S. 50.
O. Schreier, Über die Erweiterung von Gruppen, Hamb. Sem. Abh.4 (1926).
Dieser euklidische Bildraum ist nicht zu verwechseln mit dem in § 3 S. 11 eingefuhrten Bild-R 3, in dem die Drehungen der Paargruppen vor sich gehen.
Die nullteilige Einheitskugel gehört dem euklidischenR 3 an; sie hat nicht etwa Punkte mit demK 3 gemein.
Die Ebene, die von der 1- und 2-Achse desx 1 x 2 x 3 x 4-Systems aufgespannt wird, wird E12 genannt.
Vgl. die Winkelform der orthogonalen Matrix § 1 S. 6.
Genauer wird zufolge der Wahl des Koordinatensystems (§ 1 S. 6) von einer Rechtsdrehung des Drehwinkels ϕ der Einheitskreis (der Ebene E12 entsprechend) im positiven Sinne (positivex-Achse auf kürzestem Wege in positivey-Achse) bewegt, diez-Achse (der Ebene E34 entsprechend) ebenfalls im positiven Sinne (wachsendez), von einer Linksdrehung dagegen der Einheitskreis ebenso im positiven Sinne durch +ϕ, diez-Achse aber im positiven Sinne durch −ϕ.
Über den hier benutzten kontinuumstopologischen Begriff der Mannigfaltigkeit unterrichtet kurz ein Vortrag von H. Kneser, Topologie der Mannigfaltigkeiten, Jahresber. d. D. Math. Ver.34 (1926), S. 1.
SollteP′l 1 ′Q′ oderP′l 2 ′Q′ unendlich viele Punkte mit Bildern von Fixkreisen gemein haben, so kann man die beiden Kurven unter Festhaltung vonP′ undQ′ in zwei andere deformieren, bei denen das nicht mehr der Fall ist. Vgl. hierzu J. W. Alexander, A proof of the invariance of certain constants in Analysis Situs. Trans. Am. Math. Soc.16 (1915), S. 148.
Poincaré hat die ZahlP 1=p 1+1 als Bettische Zahl eingeführt. Wir folgen H. Weyl.
Über die verschiedenen möglichen Begriffe des Zellsystems vgl. B. L. van der Waerden, Kombinatorische Topologie, Jahresber. d. Deutschen Math. Ver.39 (1930), S. 121. Herr van der Waerden hat uns auch brieflich mit seinem Rate unterstützt.
Die Inzidenzmatrizen bestimmen das Zellsystem komplektisch (also erst recht nektisch) eindeutig, wenn keine singularen Elemente darin auftreten, d. h. keine Kanten, die in ihren Anfangspunkt zurucklaufen, keine Elementarflächenstucke, die mehrmals an dieselbe Kante grenzen, und keine Raumstucke, die an beide Seiten desselben Flachenstuckes grenzen. In diesem Falle sind alle Elemente der Inzidenzmatrizen 0 oder ±1. Im andern Falle treten komplektische oder sogar nektische Mehrdeutigkeiten auf.
H. Poincaré, Second compl. à l'analysis situs, Proc. London Math. Soc.32 (1901).
H. Weyl, Anál. situs comb., Revista Matem. Hispano-Americana, Toledo 1923.
H. Tietze, Topol. Invarianten mehrdim. Mannigf., Monatsh. f. Math. u. Phys.19 (1908).
Besonders ausfuhrlich: O. Veblen, The Cambridge Colloquium Lectures II, Analysis Situs, New York 1922.
Nach H. Tietze, loc cit. 27) Topol. Invarianten mehrdim. Mannigf., Monatsh. f. Math. u. Phys.19 (1908). § 20, mit (m, 1) zu bezeichnen.
M. Dehn, Unendliche diskontinuierliche Gruppen, Math. Annalen71 (1911), S. 129.
Vgl. E. Steinitz, Polyeder und Raumeinteilungen, Enc. math. Wiss. III1 A B 12 (1916), S.126; P. H. Schoute, Mehrdim. Geom. II, Leipzig 1905, S. 196.
Herrn B. L. van der Waerden war nach mündlicher Mitteilung dieser geschlossene Raum schon früher als der Raum der nichtorientierten Linienelemente der reellen projektiven Ebene bekannt. Vgl. hierzu eine demnächst im Jahresber. d. D. Math. Ver. erscheinende Aufgabe.
Zusatz während der Korrektur: Herr H. Kneser hat in seinem Vortrag: Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten (Jahresber. d. D. Math. Ver.38 (1929), S. 256, Fußnote) den Dodekaederraum erwähnt. Er hat uns eine gemeinsame Unterteilung des Außenraumes der Kleeblattschlinge und des längs einer KurveC 1 ausgebohrten Dodekaederraumes angegeben und damit die Übereinstimmung des Dodekaederraumes mit M. Dehns Poincaréschem Raum bewiesen.
H. Poincaré, Cinquième compl. à l'an. sit., Palermo Rendiconti18 (1904) S. 109.
M. Dehn, Topologie des dreidim. Raumes, Math. Annalen69 (1910), S. 160.
Jahresber. d. D. Math. Ver.39 (1930), Aufg. 84.
Vgl auch M. Dchn und P. Hecgaard, Analysis situs Ene. Math. Wiss. III1 A B 3 S. 187.
Den Beweis, daß jedes Element der gewöhnlichen und der binären Ikosaedergruppe Kommutator ist, hat während der Korrektur Herr Max Ziegler in Leipzig dadurch gefuhrt, daß er die Elemente der binären Ikosaedergruppe auf 9 Klassen ähnlicher (= konjugierter) aufteilt und in jeder Klasse einen Kommutator angibt.
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Threlfall, W., Seifert, H. Topologische Untersuchung der Diskontinuitätsbereiche endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen sphärischen Raumes. Math. Ann. 104, 1–70 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01457920
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