Le problème $\bar \partial$ de neumann et ses estimations sous-elliptiques

Résumé

L'existence d'estimations sous-elliptiques pour le problème $\bar \partial$ de Neumann dans les domaines pseudo-convexes a été l'objet d'importants résultats obtenus à partir des travaux de J.J. Kohn.

Lorsque la frontière est strictement pseudo-convexe ou analytique réelle, on constate (cf. Chapitre I) que les problèmes les plus importants sont résolus.

Soit donc Ω un domaine de ℂⁿ faiblement pseudo-convexe à frontière ℂ^∞.

Ce travail porte sur l'existence de ces estimations sous-elliptiques en un point frontière z_o de Ω où le rang de la forme de Lévi est ≥n-2.

Le second chapitre a pour objet d'établir une condition suffisante de nature algébrique portant sur le type d'un champ de vecteurs canonique; on en déduit une condition suffisante, portant sur le développment taylorien de la fonction r définissant Ω, qui peut se formuler ainsi: il existe un système de coordonnées locales d'origine z_o pour lequel:

• $r(z) = Re(z_n ) + (F = \sum\limits_{\alpha > o,\beta > o} {C_{_{\alpha \beta } }^. z\mathop z\limits^{\alpha - \beta } } ) + \theta (|z|^{m + 1} )$;

• La forme de Lévi est diagonale en z_o;

• F est un polynôme en z_n−1 et $\bar z_{n - 1}$ de degré m

• $(\frac{\partial }{{\partial z_{n - 1} }})^\alpha (\frac{\partial }{{\partial \bar z_{n - 1} }})^\beta \frac{{\partial ^2 r}}{{\partial z_{n - 1} \partial \bar z_j }}(z_o ) = 0pour\begin{array}{*{20}c}{|\alpha + \beta | \leqslant m - 2} \\{j = 1,...,n - 2} \\\end{array}$.

Ce résultat est à rapprocher de celui de J.J. Kohn dans (14) où aucune hypothèse sur le rang de la forme de Lévi n'est faite mais où l'on suppose qu'elle est diagonable localement.

Dans un article récent (5), David Catlin a établi qu'à un point de sous-ellipticité les ordres de contact avec δΩ des courbes analytiques complexes étaient bornés supérieurement.

Dans le chapitre III, sous l'hypothèse de rang ≥n−2 pour la forme de Lévi, nous établissons une conjecture de T. Bloom selon laquelle cette borne supérieure est égale au sup{c¹(T,z_o)} des champs de vecteurs T holomorphes non nulles en z_o et tangents à δΩ; ce qui démontre du même coup la réciproque du théorème de Catlin et donne ainsi une caractérisation géométrique des points de sous-ellipticité. Ce résultat est spécifique du rang nt-2 comme le montre un exemple.

Ces deux chapitres sont précédés d'un chapitre introductif où l'on présente les résultats les plus importants sur le sujet et les notions qui sont utilisés.