Serie di funzioni e di potenze

Riassunto

L’idea di approssimare una funzione mediante una successione di funzioni più semplici, o comunque note, è alla base di molteplici procedure matematiche, di natura tanto teorica quanto applicativa. Ad esempio, per dimostrare l’esistenza di una soluzione di un’equazione differenziale, è possibile costruire ricorsivamente una successione di funzioni approssimanti e poi mostrare che esse convergono verso una soluzione cercata. D’altro canto, l’effettivo calcolo dei valori della soluzione dell’equazione differenziale può non essere realizzabile per via analitica, ed allora si può ricorrere a metodologie numeriche, che generano funzioni approssimanti aventi una struttura particolarmente semplice, ad esempio polinomiale a tratti. È dunque importante comprendere quando una successione di funzioni genera una funzione limite, quali siano i vari tipi di convergenza verso il limite e quali proprietà delle funzioni che formano la successione siano ereditate dalla funzione limite. Ciò costituirà l’oggetto della prima parte del capitolo.