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Riassunto

Secondo la definizione intuitiva ed ingenua, per cui un insieme è dato semplicemente dai suoi elementi (senza ulteriori condizioni), risulterebbe essere un insieme anche l’insieme di tutti gli insiemi, ossia quello i cui elementi sono tutti i possibili insiemi. Un tale insieme, indichiamolo con X, avrebbe la strana proprietà che X ∊ X; se vogliamo accettare che abbia senso che un insieme appartenga a se stesso, possiamo fare un passo avanti e considerare il sottoinsieme

$$Y = \left\{ {A \in X\left| {A \notin A} \right.} \right\}.$$

Adesso riflettiamo: se Y ∉ Y, allora (per la definizione di Y) segue che Y ∈ Y; se Y ∈ Y, allora segue (sempre per la definizione di Y) che Y ∉ Y.