Sistemi lineari

Riassunto

Un sistema lineare è un insieme di m equazioni algebriche lineari in n incognite x _j , ovvero

$$ \sum\limits_{j = 1}^n {a_{ij} x_j = b_i , i = 1, \ldots ,m,} $$

ove a _ij e b _i sono coefficienti dati. In forma compatta, si scrive

$$ Ax = b, $$

((3.1))

ove A ∈ ℝ^m×n è la matrice dei coefficienti a _ij , b ∈ ℝ^m il vettore dei coefficienti b _i , e x ∈ ℝⁿ il vettore delle incognite x _j . In generale, (3.1) ammette un’unica soluzione se e solo se m=n (sistemi quadrati) ed inoltre la matrice A è non singolare (o equivalentemente a rango massimo rank(A)=n, o con nucleo banale ker(A)={0}, si vedano i richiami di algebra lineare del Capitolo 2). Sistemi sovradeterminati (m>n) non ammettono in generale soluzione, se non nel senso generalizzato dei minimi quadrati: in tal caso, si cerca x ∈ ℝⁿ tale che

$$ \left\| {Ax - b} \right\|_2^2 = \mathop {\min }\limits_{y \in \mathbb{R}^n } \left\| {Ay - b} \right\|_2^2 . $$

((3.2))

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