Teoria locale delle superfici

Riassunto

Il resto di questo libro è dedicato allo studio delle superfici nello spazio. Come per le curve inizieremo discutendo quale può essere la migliore definizione di superficie; ma, contrariamente al caso delle curve, per le superfici risulterá più utile lavorare con sottoinsiemi di R3 fatti localmente come un aperto del piano piuttosto che con applicazioni da un aperto di R2 a valori in R3 con differenziale iniettivo. Quando diciamo che una superficie è fatta localmente come un aperto del piano non intendiamo riferirci (solo) alla struttura topologica, ma (soprattutto) alla struttura differenziale. In altre parole, su una superficie dev’essere possibile derivare funzioni esattamente come facciamo sugli aperti del piano: il calcolo di una derivata parziale è un’operazione puramente locale, per cui deve potersi effettuare in tutti gli oggetti fatti localmente (dal punto di vista differenziale) come un aperto del piano.

Per realizzare questo programma, nella Sezione 3.2 definiremo precisamente la famiglia delle funzioni differenziabili su una superficie, cioè delle funzioni che saremo in grado di derivare; nella Sezione 3.4 faremo vedere come derivarle, e definiremo il concetto di differenziale di un’applicazione differenziabile fra superfici. Inoltre, nelle Sezioni 3.3 e 3.4 introdurremo i vettori tangenti a una superficie e mostreremo come siano un’incarnazione delle derivate parziali. Infine, nei Complementi dimostreremo (Sezione 3.5) l’importante teorema di Sard sui valori critici di funzioni differenziabili, e vedremo (Sezione 3.6) come estendere funzioni differenziabili da una superficie a tutto R3.