Die Formel des Ein- und Ausschließens

Auszug

Im Folgenden lernen wir eine Formel zur Berechnung derWahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen kennen. Die Bedeutung dieser Formel lässt sich schon allein daraus ersehen, dass sie unter verschiedenen Namen wie Siebformel, Formel von Poincaré ¹-Sylvester ², Formel des Ein- und Ausschließens (engl.: formula of inclusion and exclusion) oder Allgemeines Additionsgesetz bekannt ist. Zur Vorbereitung erinnern wir an das Additionsgesetz

$$ P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) $$

(1)

für zwei Ereignisse. Für die Vereinigung von drei Ereignissen A₁,A₂ und A₃ ergibt sich aus (11.1) die folgende Formel, wenn wir A:= A₁ ∪ A₂ und B:= A₃ setzen:

$$ P\left( {A_1 \cup A_2 \cup A_3 } \right) = P\left( {A_1 \cup A_2 } \right) + P\left( {A_3 } \right) - P\left( {\left( {A_1 \cup A_2 } \right) \cap A_3 } \right). $$

(1)

Wenden wir hier (11.1) auf P(A₁ ∪ A₂) sowie unter Beachtung des Distributivgesetzes (A₁ ∪ A₂) ∩ A₃ = (A₁ ∩ A₃) ∪ (A₂ ∩ A₃) auf den Minusterm in (11.2) an und sortieren anschließend die auftretenden Summanden nach der Anzahl der zu schneidenden Ereignisse, so folgt

$$ \begin{gathered} P\left( {A_1 \cup A_2 \cup A_3 } \right) = P\left( {A_1 } \right) + P\left( {A_2 } \right) + P\left( {A_3 } \right) \hfill \\ {\text{ }} - P\left( {A_1 \cap A_2 } \right) - P\left( {A_1 \cap A_3 } \right) - P\left( {A_2 \cap A_3 } \right) \hfill \\ {\text{ }} + P\left( {A_1 \cap A_2 \cap A_3 } \right) \hfill \\ \end{gathered} $$

(1)

Die Struktur dieser Gleichung ist in Bild 11.1 veranschaulicht. Die jeweilige Zahl 1,2, oder 3 im linken Bild gibt an, wie oft die betreffende Teilmenge von A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ nach Bildung der Summe P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) erfasst wurde. Im rechten Bild 11.1 ist die Situation nach der Subtraktion der Wahrscheinlichkeiten der Schnitte von je zwei der drei Ereignisse illustriert.

Jules-Henri Poincaré (1854–1912), 1879 Professor für Analysis in Caen, 1881 Professor an der Sorbonne in Paris (nacheinander für Mechanik, mathematische Physik und Himmelsmechanik), 1906 Präsident der französischen Akademie. Poincaré war einer der universellsten Gelehrten der neueren Zeit (u.a. 250 wissenschaftliche Arbeiten). Hauptarbeitsgebiete: Funktionentheorie, Topologie, Differentialgleichungen, Potentialtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Thermodynamik, Hydromechanik, Himmelsmechanik u.a.

James Joseph Sylvester (1814–1897), Professor für Naturwissenschaften an der Universität London, 1841 Universität Virginia (USA), 1845–1855 zunächst Aktuar, danach als Rechtsanwalt in London tätig, 1855–1870 Professor für Mathematik an der Militärakademie in Woolwich, 1876–1884 an der John Hopkins Universität in Baltimore, 1884–1892 Professor für Geometrie an der Universität Oxford (England). Sylvester führte den Begriff Matrix ein, um quadratische Zahlenschemata und Determinanten zu unterscheiden. über seine Zeit in Virginia kursieren viele Erzählungen (s. [FEU]). Hauptarbeitsgebiete: Algebra, Kombinatorik, Geometrie.