Verzweigungen

Auszug

Am Anfang von Kapitel 8 hatten wir das Pendelmodell aus der Einleitung um einen Term erweitert, der Reibung z.B. in der Aufhängung modelliert. Die Gleichgewichte blieben gleich, die globale Struktur der Lösungen aber hatte sich dadurch signifikant verändert: statt periodischer und homokliner Lösungen hatten wir für k > 0 Lösungen erhalten, die asymptotisch gegen das Gleichgewicht (0, 0) konvergieren (vgl. Abbildung 8.2). Aus dem (nur) stabilen Gleichgewicht wurde also für k > 0 ein asymptotisch stabiles. Umgekehrt verliert (0, 0) seine Stabilität, wenn wir k < 0 wählen. Physikalisch lässt sich dieser Fall als eine äußere Anregung der Pendelbewegung interpretieren, die Amplitude nimmt ständig zu und irgendwann setzt die Überschlagsbewegung ein. Die Stabilität des Gleichgewichts — und damit das Verhalten der Lösungen in seiner Nähe — hängt also vom Wert des Parameters k ab. Der Wechsel der Stabilität von (0, 0) bei k = 0 ist ein Beispiel einer Verzweigung, auch Bifurkation genannt.