Zyklische Gruppen

Auszug

Zyklische Gruppen sind jene Gruppen, die von einem Element erzeugt werden, genauer: Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element a ∈ G mit G = (a) gibt. Dabei ist (a) = {a^k | k ∈ ℤ}. Zyklische Gruppen sind also endlich oder abzählbar unendlich. Zu jeder natürlichen Zahl n kennen wir auch eine zyklische Gruppe mit n Elementen, nämlich ℤ_n = ℤ/nℤ. Und ℤ ist die klassische unendliche zyklische Gruppe: ℤ = (1). Wir werden in diesem Abschnitt die zyklischen Gruppen klassifizieren, alle ihre Untergruppen und auch alle ihre Automorphismen bestimmen. Damit erreichen wir eine vollständige Klassifikation der zyklischen Gruppen. Die Resultate werden wir schließlich auf die Zahlentheorie anwenden.