Der Satz von Lax-Milgram

Zusammenfassung

Der Erfolg einer numerischen Methode zur (näherungsweisen) Lösung eines mathematischen Problems hängt entscheidend vom theoretischen Wissen über das Problem ab. Eine erste wichtige Frage ist die Frage nach der Existenz einer Lösung.Hier geht es nicht um die Diskussion der Existenz einer Lösung eines realen Problems, sondern um die Existenz der Lösung des mathematischen Modells, das hoffentlich ein möglichst genaues Abbild der realen Problemstellung liefert. Lässt sich die Existenz einer Lösung des Modells nachweisen, so ist eine Minimalanforderung an ein sinnvolles Modell gesichert: Die Bedingungen, die an eine Lösung gestellt werden, widersprechen einander nicht, eine durchaus nichttriviale Sache bei Differentialgleichungenmit Zusatzbedingungen, wieAnfangs- und/oder Randbedingungen. Als nächstes möchte man Eindeutigkeit der Lösung: Die gestellten Bedingungen sollten ausreichend sein, umgenau eine Lösung zu charakterisieren.Und schließlich sollten kleine änderungen der Daten auch nur kleine änderungen in der Lösung bewirken. Konkrete Daten eines Problems sind meist mit Messfehlern behaftet. Diese Datenfehler sollten sich nicht dramatisch auswirken.Sind diese dreiAnforderungen an ein Problem, nämlich Existenz, Eindeutigkeit der Lösung und stetige Abhängigkeit der Lösung von den Daten, erfüllt, so sprechen wir von einem korrekt gestellten (oder auch gut gestellten, engl.: well posed) Problem. Ist eine dieser Anforderungen nicht erfüllt, so spricht man von einem inkorrekt gestellten (oder auch schlecht gestellten, engl.: ill posed) Problem.