Zusammenfassung
(Fig.1.) Die Erde weicht in ihrer Gestalt nur sehr wenig von einer Kugel ab; man stellt sie daher auf einer Kugel, dem „Globus” dar. Schneidet man eine Kugel mit einer Ebene1), so erhält man stets einen Kreis; auf diese Weise entstehen z.B. die „Mittagskreise”(Meridiankreise) durch den Schnitt mit den Mittagsebenen (Meridianebenen), die „Bahnkreise” (Parallelkreise) durch den Schnitt der Bahnkreisebenen (Parallelkreisebenen). Die Mittagsebenen enthalten die Kugelmitte, die für sie zugleich Kreismitte ist, und ihre Schnittkreise haben deshalb den Kugelhalbmesser zum Halbmesser; man nennt solche Kreise „Großkreise” zum Unterschied z. B.von den Bahnkreisen, die, abgesehen vom Äquator (Gleicher), einen kleineren Halbmesser haben. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf der Kugelfläche, ihre „Entfernung” oder ihr „Abstand”, ist der kleinere der beiden Bögen des durch sie hindurchgehenden Großkreises.2) Man kann dies veranschaulichen durch-einen gespannten Faden, der ebenso wie ein gerader Papierstreifen sich auf der Kugelfläche stets in den Bogen eines Großkreises legt. (Will man z. B. zur Darstellung eines Bahnkreises — jedoch nicht des Äquators —
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Referenzen
Man vergleiche hierzu Balser, Sphärische Trigonometrie, Kugelgeometrie in konstruktiver Behandlung. Diese Bibl. Nr. 69, erster Abschnitt.
Beweis: Balser, a. a. O., S. 51.
Die Verkleinerung, in der die Erdkugel durch einen Globus dargestellt wird, ist eine ganz gewaltige; ein Globus von 32 cm Durchmesser entspricht einem Maßstab von etwa 1:40000000, da die Länge der Erdachse rund 2 • 6400000 m beträgt.— Ein Bild, das die Erde und den Globus in ihrer gegenseitigen Lage veranschaulichen soll, kann die Größenverhältnisse auch nicht annähernd wiedergeben. Das Lotbild Fig. 1 zeigt zwei um dieselbe Mitte konstruierte Kugeln, deren Halbmesser sich wie 1:3 verhalten; hier sind also nicht nur Erde und Globus stark verkleinert, sondern zudem die Erde weit mehr als der Globus.
Die Ähnlichkeil im Raum wird festgelegt als Nahabbildung (vgl. Nr. 2.), derart, daß alle Sehstrahlen durch Ur- und Abbild in demselben Verhältnis geteilt werden. Die Verhältnisgleichheit gilt dann auch für Stücke einer Sehstrahlebene, in unserem Fall einer Großkreisebene. Durch Vertauschung der Innenglieder gelangen wir zu einer Verhältnisgleichung, die besagt, daß zwei Stücke des Abbilds sich zueinander verhalten wie die entsprechenden des Urbilds. Die Vertauschung liefert also nicht sowohl eine andere Form derselben Aussage, als vielmehr eine neue Aussage. — Das ist auf anderen Gebieten ebenso; Beispiel aus der Physik: Wir belasten eine Spiralfeder mit verschiedenen Gewichten xl,x2,... und beobachten die elastischen Verlängerungen y1, y2,... ; zunächst können wir nur solche Größen ins Verhältnis setzen, die mit demselben Maß gemessen werden; wir gelangen zu der Verhältnisgleichung y1 :y2 = x1 ;x2. Um nun zwei Größen, die demselben Versuch angehören, in Verbindung zu bringen, vertauscht man die Innenglieder der Verhältnisgleichung und findet, daß die Maßzahlen von Verlängerung und Belastung einen festen Quotienten ergeben, nämlich y1 : х1 = y2 : x2 = •. • = y : x = с; у = c • x. (Bei umgekehrten Verhältnissen bildet man die Produktengleichung der Innen- und Außenglieder; vgl. auch Nr. 7.)
Bei zahlreichen astronomischen Untersuchungen bleiben die Entfernungen der Gestirne vom Beobachter (richtiger von der Erdmitte) außer Betracht. Man macht dann die vereinfachende Annah me, daß alle Gestirne auf derselben „Himmelskugel” lägen, deren Halbmesser natürlich ganz willkürlich ist. Obwohl nun zwischen Himmelskugel und Himmelsglobus Ähnlichkeit besteht, kann der Begriff des Maßstabes wegen der in Rede stehenden Willkür weder auf diesen noch auf Sternkarten Anwendung finden.
Jede Ebene, die das Auge enthält, heißt „Sehstrahlebene”; ihr Schnitt mit der Tafel ist als Bild aller in der Sehstrahlebene liegenden Figuren zu betrachten. Für jede solche Figur entartet das Bild in eine Gerade. (Vgl. Nr. 15, 18, 23, 25).
Hammer, Entwürfe geographischer Karten, (s. Lit.-Verz.).
Beweis: Balser, а. а. О., S. 9.
Die Logge besteht aus der „Loggleine”, die in gleichen Abständen mit Knoten versehen ist und am Ende ein Brettchen trägt. Dieses ist mit Blei beschwert, so daß es, ins Wasser geworfen, in aufrechter Stellung schwimmt, gewissermaßen im Wasser feststeht, während das Schiff weiterfährt. Der Lotse beobachtet nun, wieviel Knoten ihm während der „Loggzeit” durch die Finger laufen. Diese Zahl gibt — so ist die Loggzeit bzw. die Entfernung der Knoten bemessen — die Anzahl der Seemeilen an, die das Schiff in der Stunde zurücklegt; ein Schiff „läuft 25 Knoten”, heißt also, es legt in der Stunde 25 sm zurück.
Meist spricht man vom „Parallelogramm” der Wege, der Geschwindigkeiten, der Beschleunigungen und der Kräfte anstatt vom Dreieck oder Vieleck, obwohl weder bei der Herleitung noch bei der Konstruktion ein Parallelogramm benutzt wird; dieses enthält vielmehr nur den Beweis für die Vertauschbarkeit der „Summanden”:(math)
Im Gegensatz zu den Fahrstrahlen (Vektoren) stehen die (reinen) Zahlen, wie wir sie z. B. in den trigonometrischen Funktionen kennen. — Das Verhältnis zweier Fahrstrahlen, die in derselben Geraden („Wirkungslinie”) liegen, ist stets eine (positive oder negative) Zahl; umgekehrt geht ein Fahrstrahl durch Multiplikation mit einer reellen Zahl in einen Fahrstrahl über, der in derselben Geraden liegt. Es wäre deshalb falsch, wenn man den Kosinus und den Sinus etwa als das Verhältnis erklären wollte, in dem das Lotbild eines Fahrstrahls zu diesem selbst steht; falsch, weil beide nicht in derselben Geraden liegen. Die obigen Gleichungen enthalten dagegen eine einwandfreie Erklärung, die überdies auf Winkel aller Quadranten anwendbar ist. Frage: Was würde sich aus der oben beanstandeten Erklärung für cos 180° ergeben, wenn man bedenkt, daß in dem Augenblick, wo der veränderliche Winkel α den Wert 180° annimmt, das Lotbild mit dem Fahrstrahl zusammenfällt? Antw.: der falsche Wert + 1 statt — 1. Dieser logische Widerspruch läßt sich durch die „Vorschrift”, daß der Fahrstrahl „absolut zu nehmen” sei, nicht beseitigen. Wollte man übrigens einen Fahrstrahl mittels einer Zahl festlegen, so müßte das eine komplexe Zahl, die wir vorhin nicht voraussetzten, sein: Darstellung der komplexen Zahlen nach Gauß durch die Punkte einer Ebene oder durch die Fahrstrahlen, die man aus dem (Koordinaten-) Ursprung nach diesen Punkten zieht. In dieser Auffassung sind die Halbmesser eines um den Ursprung beschriebenen Kreises nicht gleich, weil sie verschiedene Richtung haben. Ganz ähnlich ist ja auch die Geschwindigkeit eines Punktes, der einen Kreis mit fester Winkelgeschwindigkeit durchläuft, nicht fest, die Bewegung nicht gleichförmig; wäre sie es, so wäre die Beschleunigung Null! Vgl. z. B. Maxwell, Substanz und Bewegung, deutsch von Fleischl, Braunschweig, 18812, Vieweg u. Sohn, S. 105, wo der Hodograph behandelt ist; ferner Wiener, Geometrische Ableitung der Additionssätze für Hyperbelfunktionen, Archiv d. Math. u. Phys. III. Reihe. XVII, S. 25. Dieser 1910 geschriebené Aufsatz enthält bereits die oben angegebenen Erklärungen des Kosinus und des Sinus. Über Vektoren vgl. auch Peters, Vektoranalysis, diese Bibl. Nr. 57, 19241.
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Balser, L. (1928). Einleitung. In: Einführung in die Kartenlehre. Mathematisch-Physikalische Bibliothek. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-16044-1_1
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-16044-1_1
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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