Die Idee der polareuklidischen Geometrie

Zusammenfassung

Das Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie aus dem 2. Kapitel gilt in der euklidischen Geometrie nicht. Aber man kann die euklidische aus der projektiven Geometrie heraus entwickeln und dabei so erweitern, dass es wieder Geltung erlangt. Dazu werden in der projektiven Geometrie eine „unendlichferne Ebene“ und ein „absoluter Mittelpunkt“ ausgezeichnet. Den euklidischen Grundbegriffen, welche sich implizit auf die unendlichferne Ebene beziehen, werden duale Begriffe gegenübergestellt, die sich auf den absoluten Mittelpunkt stützen. Schritt für Schritt und anhand von vielen Beispielen wird dann eine zur euklidischen in jeder Hinsicht duale Geometrie aufgebaut.

Beide zusammen bilden die polareuklidische Geometrie. In ihr kann jeder euklidischen Tatsache eine duale, auch mit euklidischen Begriffen formulierbare Tatsache gegenübergestellt werden. Und die neuentdeckten Verhältnisse lassen sich zudem an vertrauten Beobachtungen aus dem Alltag veranschaulichen.