Die Exponentialfunktion und ihre Anwendung in der Biologie

Zusammenfassung

Escheria coli (kurz E.-coli) sind Bakterien, die im Darm von Säugetieren und Menschen leben. Ein junges E.-coli-Bakterium wächst mit einer konstanten Geschwindigkeit, bis es seine Länge verdoppelt hat. Hierbei behält es seinen Durchmesser bei. Schließlich entstehen durch Zellteilung zwei gleichgroße E.-coli-Bakterien. Während dieses Prozesses wird die DNA des E.-coli-Bakteriums verdoppelt. Dieser Vorgang dauert ungefähr 40 min. Nach der DNA-Replikation dauert es in der Regel weitere 20 min, bis sich die Zelle geteilt hat. Bei ca. $37\,^{\circ}$C variiert zwar die Wachstumsrate eines E.-coli-Bakteriums merklich, dennoch kann man für diesen Verdoppelungsprozess ein Zeitintervall von ca. 60 min annehmen.

Betrachtet man also über einem bestimmten Zeitintervall eine E.-coli-Population $u(t)$, in der man Bakterien in unterschiedlichen Replikationsstufen vorliegen hat, so kann man hier davon ausgehen, dass

$$u(60\tau+60)=2\cdot u(60\tau)$$

für alle $\tau\in\mathbb{N}_{0}$ gilt. Insbesondere gilt, dass sich 60 min nach Beobachtungsbeginn die Population verdoppelt hat, also die Gleichung

$$u(60)=2\cdot u(0)$$

gilt. Wir können hieraus die Gleichung

$$u(60\tau+60)=\frac{u(60)}{u(0)}u(60\tau)$$

herleiten.