Über die Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke

Zusammenfassung

Ausblick Zahlen wie $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$ sind (über den rationalen Zahlen) algebraisch ununterscheidbar, denn beide Zahlen besitzen das gleiche Minimalpolynom, nämlich $X^2 - 2$. Solche Zahlen nennen wir zueinander galoissch konjugiert. Wir zeigen, dass zwei galoissch konjugierte Zahlen nicht nur das gleiche Minimalpolynom besitzen, sondern dass sogar jede polynomielle Gleichung, welche von der einen Zahl erfüllt wird, auch von ihren galoissch Konjugierten und umgekehrt erfüllt wird. Allgemein nennen wir polynomielle Beziehungen zwischen mehreren algebraischen Zahlen algebraische Relationen. Von besonderem Interesse sind die algebraischen Relationen zwischen den Nullstellen eines Polynoms. Zählen wir die Nullstellen ab, so nennen wir eine Vertauschung der Nullstellen eine (galoissche) Symmetrie, wenn unter dieser Vertauschung alle algebraischen Relationen zwischen diesen Nullstellen erhalten bleiben. Alle Symmetrien zusammen bilden die galoissche Gruppe der Nullstellen. Aus der Definition der galoisschen Gruppe ist noch nicht sofort ersichtlich, wie wir sie effektiv berechnen können. Dies geschieht mithilfe von galoisschen Resolventen, und wir geben in diesem Kapitel ein vollständiges Verfahren an. Dadurch, dass wir jedem (den Nullstellen eines jeden) Polynom(s) eine Gruppe zuordnen können, können wir wiederum von der Gruppenstruktur Rückschlüsse auf das Polynom und seine Nullstellen ziehen. Wir schauen uns deswegen in diesem Kapitel einige sehr allgemeine Aussagen über Gruppen wie die Klassengleichung an. Diese Sätze wenden wir auf die galoisschen Gruppen der sogenannten Kreisteilungspolynome an. Als Anwendung geben wir eine vollständige Klassifikation der regelmäßigen n-Ecke an, die sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen.

Symmetrien sind nicht nur schön, sondern erlauben uns auch, Gleichungen zu verstehen.

Appendices

Zusammenfassung

• Algebraische Zahlen heißen galoissch konjugiert, wenn sie das gleiche Minimalpolynom besitzen. Galoissch Konjugierte erfüllen jeweils die gleichen Polynomgleichungen.

• Sind $x_1$, ..., $x_n$ algebraische Zahlen, so ist eine algebraische Relation zwischen ihnen ein Polynom $H(X_1, \dots , X_n)$, sodass $H(x_1, \dots , x_n) = 0$.

• Eine Permutation der Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$ eines separablen Polynoms ist Element der galoisschen Gruppe von $x_1$, ..., $x_n$, wenn diese Permutation alle algebraischen Relationen enthält.

• Die Elemente dieser galoisschen Gruppe stehen in Bijektion zu den galoissch Konjugierten eines primitiven Elementes von $x_1$, ..., $x_n$.

• Die galoissche Resolvente erlaubt es, solche primitiven Elemente und ihre galoissch Konjugierten und damit die galoissche Gruppe effektiv zu bestimmen.

• Die Elemente der galoisschen Gruppen wirken nicht nur auf den Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$, sondern auf allen in $x_1$, ..., $x_n$ rationalen Zahlen. Die Invarianten dieser Wirkung sind genau die rationalen Zahlen.

• Jede nichttriviale Gruppe von Primordnung p besitzt nach der Klassengleichung ein nichttriviales Zentrum, wie sich aus dem lagrangeschen Satz ergibt. Daraus folgt auch die Existenz eines Gruppenelementes der Ordnung p.

• Ist die Ordnung der galoisschen Gruppe eines Polynomes eine Zweierpotenz, so besitzt diese damit ein Element der Ordnung 2. Damit wird bewiesen, dass die Nullstellen eines Polynoms genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, wenn die Ordnung der zugehörigen galoisschen Gruppe eine Zweierpotenz ist.

• Ein regelmäßiges n -Eck ist genau dann konstruierbar, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz und paarweise verschiedenen fermatschen Primzahlen ist. Denn für genau diese n ist die Ordnung der galoisschen Gruppe des n-ten Kreisteilungspolynoms eine Zweierpotenz.

Aufgaben

Galoissch Konjugierte

5.1

Gib zwei algebraische Zahlen an, die nicht zueinander galoissch konjugiert sind.

5.2

Sei $t$ eine algebraische Zahl. Begründe, warum das Produkt von $t$ mit allen seinen galoissch Konjugierten eine rationale Zahl ist. Wie ist es mit der Summe?

5.3

Seien $f(X)$ und $g(X)$ die Minimalpolynome zweier algebraischer Zahlen $x$ und $y$. Zeige, dass $x$ und $y$ genau dann konjugiert sind, wenn der größte gemeinsame Teiler von $f(X)$ und $g(X)$ ein nichtkonstantes Polynom ist.

5.4

Seien $x$, $y$ und $z$ drei algebraische Zahlen. Seien $x$ galoissch konjugiert zu $y$ und $y$ galoissch konjugiert zu $z$. Zeige, dass $x$ galoissch konjugiert zu $z$ ist.

5.5

Wie viele galoissch Konjugierte hat $x_1 = \root 3 \of {1 + \sqrt{2}}$?

5.6

Seien $p$ und $q$ zwei verschiedene Primzahlen. Berechnen Sie die galoissch Konjugierten von $\sqrt{p} + \sqrt{q}$.

5.7

Zeige, dass Proposition 5.1 die galoissch Konjugierten einer algebraischen Zahl $t$ charakterisiert, das heißt, eine algebraische Zahl $t'$ ist genau ein galoissch Konjugiertes zu $t$ (der Fall $t' = t$ ist hier eingeschlossen), wenn jedes Polynom $f(X)$ mit rationalen Koeffizienten, welches $t$ als Nullstelle hat, auch $t'$ als Nullstelle hat.

5.8

Sei $f(X)$ ein Polynom mit rationalen Koeffizienten. Sei $x :=f(t)$, wobei $t$ eine algebraische Zahl ist. Seien $t'$ eine weitere algebraische Zahl und $x' :=f(t')$. Zeigen Sie, dass $x$ und $x'$ galoissch konjugiert sind, wenn $t$ und $t'$ galoissch konjugiert sind.

5.9

Zeige an einem Beispiel, dass Lemma 5.1 falsch wird, wenn $x_1$, ..., $x_n$ nicht als Lösungen (mit Vielfachheiten) einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten vorausgesetzt werden, sondern beliebige algebraische Zahlen sein können.

5.10

Zeige an einem Beispiel, dass Proposition 5.2 falsch wird, wenn $x_1$, ..., $x_n$ nicht als Lösungen (mit Vielfachheiten) einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten vorausgesetzt werden, sondern beliebige algebraische Zahlen sein können.

Die galoissche Gruppe einer Gleichung

5.11

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Gib ein Verfahren an, alle $n$-stelligen Permutationen aufzulisten, und zeige, dass es davon insgesamt $n!$ Stück gibt.

5.12

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Sei $\sigma$ diejenige $n$-stellige Permutation, welche $1$ auf $2$, $2$ auf $3$, ...und schließlich $n - 1$ auf $n$ und $n$ auf $1$ abbildet. Berechne ihr Signum in Abhängigkeit von $n$.

5.13

Berechne die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Fünfecks in der Ebene.

5.14

Berechne die Symmetriegruppe eines regelmäßigen $n$-Ecks in der Ebene.

5.15

Berechne die Symmetriegruppe des Oktaeders.

5.16

Gib alle möglichen Untergruppen der symmetrischen Gruppe $\mathrm {S}_3$ an.

5.17

Zeige, dass die alternierende Gruppe $\mathrm {A}_n$ eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $\mathrm {S}_n$ ist.

5.18

Zeige, dass die zyklische Gruppe $\mathrm {C}_n$ eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $\mathrm {S}_n$ ist.

5.19

Seien $\sigma$ und $\tau$ Symmetrien der Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$ eines normierten separablen Polynoms. Zeige, dass $\tau \cdot (\sigma \cdot x) = (\tau \circ \sigma ) \cdot x$.

5.20

Seien $\sigma$ und $\tau$ zwei $n$-stellige Permutationen. Sei $H(X_1, \dots , X_n)$ eine algebraische Relation zwischen den Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$ eines normierten separablen Polynoms. Zeige, dass $\tau \cdot (\sigma \cdot H) = (\tau \circ \sigma ) \cdot H$.

5.21

Seien $x_1$, ..., $x_n$ Nullstellen eines normierten separablen Polynoms $f(X)$ über den rationalen Zahlen. Seien $x_1$ und $x_2$ nicht galoissch konjugiert. Zeige, dass keine Symmetrie $\sigma$ der Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$ von $f(X)$ existiert, sodass $x_2 = \sigma \cdot x_1$.

5.22

Sei $f(X) = g_1(X) \dots g_m(X)$, wobei $f(X)$ und $g_1(X)$, ..., $g_m(X)$ normierte Polynome mit rationalen Koeffizienten sind. Sei $f(X)$ separabel. Zeige, dass jede Symmetrie der Nullstellen von $f(X)$ die Nullstellen der $g_i(X)$ jeweils nur untereinander permutiert.

5.23

Sei $f(X)$ ein quadratisches Polynom über den rationalen Zahlen mit Nullstellen $x_1$ und $x_2$, welche wir als verschieden annehmen. Berechne ${{\,\mathrm{Gal}\,}}_{\mathbf {Q}}(x_1, x_2)$ in Abhängigkeit der Diskriminanten von $f(X)$.

5.24

Sei $f(X)$ ein irreduzibles normiertes Polynom dritten Grades über den rationalen Zahlen mit Nullstellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Sei $x_1$ ein primitives Element zu $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Zeige, dass die galoissche Gruppe zu den Nullstellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ von $f(X)$ genau drei Elemente hat. Gib diese Elemente an.

5.25

Sei $f(X)$ ein irreduzibles normiertes Polynom dritten Grades über den rationalen Zahlen mit Nullstellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Sei $x_1$ kein primitives Element zu $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Zeige, dass die galoissche Gruppe zu den Nullstellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ von $f(X)$ genau sechs Elemente hat.

5.26

Sei $f(X)$ ein normiertes separables Polynom vom Grade $n$. Sei $t$ ein primitives Element über den rationalen Zahlen zu allen Nullstellen von $f(X)$. Zeige, dass der Grad von $t$ höchstens $n!$ beträgt.

5.27

Seien $x_1$, ..., $x_n$ die Nullstellen eines normierten separablen Polynoms $f(X)$ mit rationalen Koeffizienten. Seien $y_1$, ..., $y_n$ die Nullstellen desselben Polynoms in (möglicherweise) anderer Anordnung. Wie lässt sich ${{\,\mathrm{Gal}\,}}_{\mathbf {Q}}(y_1, \dots , y_n)$ durch ${{\,\mathrm{Gal}\,}}_{\mathbf {Q}}(x_1, \dots , x_n)$ beschreiben?

Über Invarianten der galoisschen Wirkung

5.28

Seien $x_1$, ..., $x_n$ die Nullstellen eines normierten separablen Polynoms mit rationalen Koeffizienten. Seien $z$ und $w$ zwei in $x_1$, ..., $x_n$ rationale Zahlen. Zeige für jede Symmetrie $\sigma$ von $x_1$, ..., $x_n$, dass

$$ \sigma \cdot (z + w) = \sigma \cdot z + \sigma \cdot w $$

und

$$ \sigma \cdot (z w) = (\sigma \cdot z) \, (\sigma \cdot w) $$

gelten.

5.29

Seien $x_1$, ..., $x_n$ die Nullstellen eines normierten separablen Polynoms $f(X)$ mit rationalen Koeffizienten. Zeige, dass $f(X)$ genau dann irreduzibel ist, wenn die galoissche Gruppe zu $x_1$, ..., $x_n$ transitiv auf $x_1$, ..., $x_n$ operiert.

5.30

Seien $x_1$, ..., $x_n$ die Nullstellen eines normierten separablen Polynoms $f(X)$ mit rationalen Koeffizienten. Zeige, dass die galoissche Gruppe zu $x_1$, ..., $x_n$ genau dann in der alternierenden Gruppe $\mathrm {A}_n$ liegt, wenn die Diskriminante von $f(X)$ eine Quadratwurzel in den rationalen Zahlen besitzt.

5.31

Zeige, dass das Polynom $f(X) = X^3 - 3 X + 1$ über den rationalen Zahlen irreduzibel und separabel ist. Berechne die galoissche Gruppe der Nullstellen von $f(X)$.

5.32

Zeige, dass das Polynom $f(X) = X^3 + 3 X + 1$ über den rationalen Zahlen irreduzibel und separabel ist. Berechne die galoissche Gruppe der Nullstellen von $f(X)$.

Galoissche Resolventen

5.33

Sei $f(X_1, \dots , X_n)$ ein nichtverschwindendes Polynom mit rationalen Koeffizienten. Zeige, dass ganze Zahlen $m_1$, ..., $m_n$ mit $f(m_1, \dots , m_n) \ne 0$ existieren.

5.34

Gib eine galoissche Resolvente für das Polynom $f(X) = X^2 + X + 1$ an.

5.35

Warum ist die galoissche Resolvente nur für separable Polynome definiert worden?

5.36

Seien $x_1$, ..., $x_n$ die Nullstellen eines normierten separablen Polynoms $f(X)$ mit rationalen Koeffizienten. Sei $C$ eine natürliche Zahl mit

$$\begin{aligned} n \cdot \left| \frac{x_i - x_j}{x_k - x_\ell }\right| \le C \end{aligned}$$

für alle $i$, $j$, $k$, $\ell \in \left\{ 1, \dots , n \right\}$ mit $k \ne \ell$. Zeige, dass

$$\begin{aligned} V(X_1, \dots , X_n) = X_1 + C \cdot X_2 + C^2 \cdot X_3 + \dots + C^{n - 1} X_n \end{aligned}$$

eine galoissche Resolvente zu $f(X)$ ist.

5.37

Sei $f(X)$ ein normiertes separables Polynom mit $n$ Nullstellen. Zeige, dass es immer gelingt, eine galoissche Resolvente $V(X_1, \dots , X_n)$ von $f(X)$ zu finden, die von $X_1$ nicht abhängt, also schon ein Polynom in $X_2$, ..., $X_n$ ist.

5.38

Schreibe das Polynom $X_1 X_2 X_3 - X_2 X_3 + X_1^3 X_2^2 X_3^2$ als Polynom in $X_1$ und in den elementarsymmetrischen Funktionen von $X_1$, $X_2$ und $X_3$.

5.39

Sei $H(X_1, \dots , X_n)$ ein Polynom, welches symmetrisch in $X_3$, ..., $X_n$ ist. Zeige, dass sich $H(X_1, \dots , X_n)$ als Polynom in $X_1$, in $X_2$ und in den elementarsymmetrischen Funktionen von $X_1$, ..., $X_n$ schreiben lässt. Ist diese Darstellung eindeutig?

5.40

Berechne eine galoissche Gruppe des Polynoms $f(X) = X^3 - 3 X - 4$ über den rationalen Zahlen mithilfe der Methode der galoisschen Resolvente.

5.41

Sei $f(X)$ ein normiertes separables Polynom mit Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$. Konstruiere eine endliche Folge von algebraischen Relationen $H_1(X_1, \dots , X_n)$, ..., $H_m(X_1, \dots , X_n)$ zwischen $x_1$, ..., $x_n$ über den rationalen Zahlen, sodass eine $n$-stellige Permutation genau dann Symmetrie der Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$ ist, wenn $\sigma$ die algebraischen Relationen $H_1(X_1, \dots , X_n)$, ..., $H_m(X_1, \dots , X_n)$ erhält.

5.42

Gib ein primitives Element zu den drei Nullstellen der Gleichung $X^3 - 7 = 0$ an.

5.43

Seien $x_1$, ..., $x_n$ die Nullstellen eines normierten separablen Polynoms über den rationalen Zahlen. Sei $V(X_1, \dots , X_n)$ ein Polynom mit rationalen Koeffizienten, so dass $V(x_{\sigma (1)}, \dots , x_{\sigma (n)})$ auf allen Permutationen $\sigma$, welche in der galoisschen Gruppe von $x_1$, ..., $x_n$ über den rationalen Zahlen liegen, paarweise verschiedene Werte annimmt. Zeige, dass dann $t = V(x_1, \dots , x_n)$ ein primitives Element zu $x_1$, ..., $x_n$ ist, im Allgemeinen aber keine galoissche Resolvente.

Der lagrangesche Satz und die Klassengleichung

5.44

Sei $G$ eine Gruppe. Sei $\sigma \in G$. Zeige, dass der Zentralisator $G_\sigma$ von $\sigma$ eine Untergruppe von $G$ ist.

5.45

Sei $G$ eine Gruppe. Ist $i$ eine negative ganze Zahl, so setzen wir $\sigma ^{i} = (\sigma ^{-1})^{-i}$. Außerdem ist $\sigma ^0 = {{\,\mathrm{id}\,}}$. Zeige, dass $\sigma ^i \circ \sigma ^j = \sigma ^{i + j}$ für zwei beliebige ganze Zahlen $i$ und $j$.

Warum reicht es, diese Aussage für den Fall zu beweisen, dass $G$ eine volle Permutationsgruppe ist?

5.46

Sei $G$ eine Gruppe. Sei $H$ eine Untergruppe von $G$. Zeige, dass Kongruenz modulo $H$ eine Äquivalenzrelation auf den Elementen von $G$ ist.

5.47

Sei $G$ eine Gruppe. Sei $H$ eine Untergruppe von $G$, und sei $K$ eine Untergruppe von $H$. Warum ist $K$ auch eine Untergruppe von $G$?

5.48

Sei $G$ eine Gruppe. Sei $H$ eine Untergruppe von $G$, und sei $K$ eine Untergruppe von $H$. Zeige, dass dann

$$\begin{aligned}{}[G : K] = [G : H] \cdot [H : K] \end{aligned}$$

gilt.

5.49

Gibt es in der Permutationsgruppe $\mathrm {S}_5$ eine Untergruppe mit $80$ Elementen?

5.50

Sei $f(X)$ eine normiertes separables Polynom über den rationalen Zahlen. Sei $t$ ein primitives Element zu den Nullstellen (mit Vielfachheit) $x_1$, ..., $x_n$ von $f(X)$. Zeige, dass der Grad von $t$ über den rationalen Zahlen ein Teiler von $n!$ ist.

5.51

Sei $G$ eine Gruppe. Sei $\sigma \in G$ von Ordnung $n$. Sei $m$ eine ganze Zahl. Zeige, dass die Ordnung von $\sigma ^m$ durch $\frac{n}{d}$ gegeben ist, wobei $d$ der größte gemeinsame Teiler von $n$ und $m$ ist.

5.52

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Berechne die Ordnungen der Elemente der zyklischen Gruppe $\mathrm {C}_n$.

Kreisteilungspolynome

5.53

Gib die Faktorisierung von $X^3 + X^2 + X + 1$ in irreduzible Polynome über den rationalen Zahlen an.

5.54

Berechne das Kreisteilungspolynom $\Phi _3(X)$.

5.55

Berechne das Kreisteilungspolynom $\Phi _6(X)$.

5.56

Berechne das Kreisteilungspolynom $\Phi _9(X)$.

5.57

Sei $A$ eine quadratische Matrix über den rationalen Zahlen, sodass $A^n$ die Einheitsmatrix ist. Zeige, dass das charakteristische Polynom von $A$ ein Produkt von Kreisteilungspolynomen der Form $\Phi _d(X)$ ist, wobei $d$ ein Teiler von $n$ ist.

5.58

Sei $A$ eine quadratische Matrix mit $4$ Zeilen und Spalten über den rationalen Zahlen, welche nicht die Einheitsmatrix ist. Zeige, dass die einzigen Primzahlen $p$ für die $A^p$ die Einheitsmatrix sein kann, nur $2$, $3$ und $5$ sind.

5.59

Sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass

$$\begin{aligned} \Phi _p(X) = \frac{X^p - 1}{X - 1} = X^{p - 1} + X^{p - 2} + \dots + X + 1. \end{aligned}$$

5.60

Sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass

$$\begin{aligned} \Phi _p(X + 1) = X^{p - 1} + \left( {\begin{array}{c}p\\ 1\end{array}}\right) X^{p - 2} + \dots + \left( {\begin{array}{c}p\\ p - 2\end{array}}\right) X + \left( {\begin{array}{c}p\\ p - 1\end{array}}\right) . \end{aligned}$$

5.61

Zeige mithilfe des eisensteinschen Kriteriums und unabhängig von den Aussagen dieses Abschnittes, dass $X^{p - 1} + X^{p - 2} + \dots + X + 1$ über den rationalen Zahlen irreduzibel ist.

5.62

Sei $m$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass

$$\begin{aligned} X^{2m} + X^m + 1 = \frac{X^{3m} - 1}{X^m - 1} = \prod _{\begin{array}{c} d \mid 3m\\ d \not \mid m \end{array}} \Phi _d(X). \end{aligned}$$

5.63

Sei $m$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass das Polynom $X^{2m} + X^m + 1$ genau dann über den rationalen Zahlen irreduzibel ist, wenn $m = 3^k$ für eine natürliche Zahl $k$.

5.64

Sei $p$ eine Primzahl. Sei $r$ eine positive natürliche Zahl. Zeige, dass

$$\begin{aligned} \Phi _{p^r}(X) = \Phi _p(X^{p^{r - 1}}). \end{aligned}$$

5.65

Sei $n = p_1^{r_1} \dots p_s^{r_s}$ die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl, wobei wir $r_1$, ..., $r_s > 0$ annehmen. Zeige, dass

$$\begin{aligned} \Phi _n(X) = \Phi _{p_1 \dots p_s}\Bigl (X^{p_1^{r_1 - 1} \dots p_s^{r_s - 1}}\Bigr ). \end{aligned}$$

5.66

Sei $n > 1$ eine ungerade natürliche Zahl. Zeige, dass $\Phi _{2n}(X) = \Phi _n(-X)$.

5.67

Sei $p$ eine Primzahl und $n$ eine zu $p$ teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass

$$\begin{aligned} \Phi _{pn}(X) = \frac{\Phi _n(X^p)}{\Phi _n(X)}. \end{aligned}$$

5.68

Sei $p$ eine Primzahl und $n$ ein positives ganzzahliges Vielfaches von $p$. Zeige, dass $\Phi _{pn}(X) = \Phi _n(X^p)$.

5.69

Sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass der Binomialkoeffizient $\left( {\begin{array}{c}p^2\\ p\end{array}}\right)$ durch $p$, aber nicht durch $p^2$ teilbar ist.

5.70

Seien $d$ und $n$ natürliche Zahlen. Sei $X = \left\{ \upzeta _n, \upzeta _n^2, \dots , \upzeta _n^{n - 1}, \upzeta _n^n \right\}$ die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln. Zeige, dass

$$\begin{aligned} \sigma _d:X \rightarrow X,\quad \zeta \mapsto \zeta ^d \end{aligned}$$

genau dann eine Bijektion von $X$ ist, wenn $d$ teilerfremd zu $n$ ist.

5.71

Gib alle primitiven Wurzeln modulo $11$ an.

5.72

Sei $p$ eine Primzahl. Gib die Primfaktorzerlegung von $X^{p - 1} - 1$ modulo $p$ an.

5.73

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Gib alle Erzeuger von $\mathrm {C}_n$ an.

Über die Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke

5.74

Gib alle $n \in \left\{ 1, \dots , 100 \right\}$ an, für die ein regelmäßiges $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

5.75

Gib eine Konstruktionsvorschrift für das regelmäßige $15$-Eck an.

5.76

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass

$$\begin{aligned} F_{n + 1} = 2 + F_n F_{n - 1} \dots F_0. \end{aligned}$$

5.77

Zeige, dass $F_m$ und $F_n$ für $m \ne n$ teilerfremd sind. Folgere, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

5.78

Eine mersennesche$^2$ Primzahl ist eine Primzahl der Form $M_n = 2^n - 1$, wobei $n$ eine natürliche Zahl ist. Zeige, dass $M_n$ höchstens dann eine mersennesche Primzahl ist, wenn $n$ selbst eine Primzahl ist. Zeige allgemeiner, dass $M_n$ von $M_d$ geteilt wird, wenn $d$ ein positiver Teiler von $n$ ist.

5.79

Sei $p$ eine Primzahl. Sei $x$ eine algebraische Zahl vom Grad $p^n$, sodass deren galoissch Konjugierte $x_1 = x$, $x_2$, ..., $x_{p^n}$ alle in $x$ rational sind. Zeige, dass die galoissche Gruppe zu $x_1$, ..., $x_{p^n}$ im Zentrum ein Element $\sigma$ der Ordnung $p$ besitzt. Sei $y$ ein primitives Element zu $e_1(x_1, \sigma \cdot x_1, \dots , \sigma ^{p - 1} \cdot x_1)$, ..., $e_p(x_1, \sigma \cdot x_1, \dots , \sigma ^{p - 1} \cdot x_1)$. Zeige, dass $y$ den Grad $p^{n - 1}$ über den rationalen Zahlen besitzt.

5.80

Sei $n$ eine natürliche Zahl, und sei $f(X)$ ein irreduzibles, normiertes, separables Polynom vom Grad $2^n$. Seien $x_1$, ..., $x_{2^n}$ die Lösungen von $f(X)$, deren galoissche Gruppe die Ordnung $2^n$ habe. Folgt dann, dass $x_1$ eine konstruierbare Zahl ist?

Anmerkungen

• 1. Dies bedeutet aber nicht, dass jedes Element von der Form $t' = V(x_{\sigma (1)}, \dots , x_{\sigma (n)})$ ein galoissch Konjugiertes von $t$ ist.

• 2. Martin Mersenne, 1588–1648, französischer Theologie, Mathematiker und Musiktheoretiker.