Zur Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises

Zusammenfassung

Ein Polynom ist ein formaler Ausdruck der Form $a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0$ in einer Unbestimmten X. Polynome sind grundlegende Objekte der Algebra, und wir können mit ihnen rechnen wie mit Zahlen. Insbesondere können wir Polynome addieren und multiplizieren. Genauso, wie wir jeder ganzen Zahl ihren Absolutbetrag als Maß für ihre Größe zuordnen können, können wir Polynomen ihren Grad als Maß zuordnen. Eine Anwendung findet dies bei der Division mit Rest. Sind Dividend und Divisor Polynome, so finden wir einen Quotienten, sodass der Rest kleineren Grad als der Divisor hat. Ebenfalls besitzt die Teilbarkeitstheorie ganzer Zahlen eine Entsprechung für Polynome. Inwiefern ein Polynom in Polynome kleineren Grades faktorisiert werden kann, hängt dabei entscheidend vom gewählten Koeffizientenbereich ab. Wir zeigen, dass der Fundamentalsatz der Algebra impliziert, dass Polynome über den algebraischen Zahlen immer in ein Produkt linearer zerfallen. Am Ende dieses Kapitels wenden wir die erhaltenen Ergebnisse über Polynome an, um in einem elementaren Beweis zu zeigen, dass die Kreiszahl $\pi$ transzendent ist, also nicht Nullstelle einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Wir folgern daraus, dass wir die Längen $\pi$ und auch damit auch $\sqrt{\pi }$ nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren können. Aus Letzterem folgt, dass die Quadratur des Kreises, also die Konstruktion eines Quadrates mit dem gleichen Flächeninhalt eines gegebenen Kreises mit Zirkel und Lineal, unmöglich ist.

Die moderne Algebra beginnt mit dem Studium von Polynomen.

Appendices

Zusammenfassung

• Ein Polynom ist ein formaler Ausdruck in einer oder mehreren Unbestimmten über einem Koeffizientenbereich.

• Polynome können wir an Stellen auswerten, indem wir konkrete Zahlen für die Unbestimmte einsetzen. Dabei ist eine Nullstelle eines Polynoms f eine Zahl x, bei der für die Auswertung $f(x) = 0$ gilt. Eine Polynomgleichung ist nichts anderes als die Frage nach Nullstellen eines gegebenen Polynoms.

• Seien $t_1$, ..., $t_n$ algebraische Zahlen. Eine komplexe Zahl z heißt polynomiell in $t_1$, ..., $t_n$, falls ein Polynom $f(X_1, \dots , X_n)$ mit rationalen Koeffizienten existiert, sodass $z = f(t_1, \dots , t_n)$, und rational in $t_1$, ..., $t_n$, falls zwei Polynome $p(X_1, \dots , X_n)$ und $q(X, \dots , X_n)$ mit rationalen Koeffizienten existieren, sodass $z = p(t_1, \dots , t_n)/q(t_1, \dots , t_n)$. Es zeigt sich, dass die Begriffe polynomiell und rational äquivalent sind.

• Sind $X_1$, ..., $X_n$ Unbestimmte, so gibt es gewisse Polynome in $X_1$, ..., $X_n$, die sogenannten elementarsymmetrischen Funktionen $e_0$, ..., $e_n$, welche symmetrisch in $X_1$, ..., $X_n$ sind. Weiter lässt sich jedes andere symmetrische Polynom, eindeutig als Polynom in den elementarsymmetrischen Funktionen schreiben.

• Nach dem vietaschen Satz sind die Koeffizienten eines Polynoms sind bis auf Vorzeichen die elementarsymmetrischen Funktionen ausgewertet auf allen Nullstellen des Polynoms in $\overline{\mathbf {Q}}$. Hat das Polynom rationale Koeffizienten, so nehmen insbesondere alle symmetrischen Polynome auf den Nullstellen rationale Werte an.

• Die Diskriminante eines Polynoms f(X) gibt an, ob dieses Polynom eine doppelte Nullstelle hat. Die Diskriminante von f(X) ist ein symmetrisches Polynom in den Nullstellen von f(X). Nach dem vietaschen Satz ist die Diskriminante damit ein Polynom in den Koeffizienten von f(X).

• Die Kreiszahl $\pi$, welche der Beziehung $1 + \mathrm {e}^{\uppi \,\mathrm {i}} = 0$ genügt, ist nicht Lösung einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten und damit keine algebraische Zahl, sondern transzendent. Der Beweis gelingt mit Hilfe der Theorie der elementarsymmetrischen Funktionen und des vietaschen Satzes, in dem gezeigt wird, dass ein bestimmtes Polynom rationale Koeffizienten haben müsste.

• Da jede konstruierbare komplexe Zahl algebraisch sein muss, kann die Kreiszahl nicht konstruierbar sein. Damit ist auch die Quadratur des Kreises unmöglich.

Aufgaben

Polynome

3.1

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei Polynome mit $\deg f(X) \le n$ und $\deg g(X) \le m$. Zeige, dass $\deg (f(X) + g(X)) \le \max \left\{ n, m \right\}$ und $\deg (f(X) \cdot g(X)) \le n + m$.

3.2

Gib ein Beispiel für ein Polynom $f(X)$ und zwei algebraische Zahlen $x$ und $y$ an, sodass $f(x \cdot y) \ne f(x) \cdot f(y)$.

3.3

Ist $X + \sqrt{2}$ ein Teiler von $X^3 - 2 X$?

3.4

Ein Polynom $f(X)$ mit ganzzahligen Koeffizienten teile ein weiteres Polynom $g(X)$ mit ganzzahligen Koeffizienten. Zeige, dass für jede ganze Zahl $n$ die ganze Zahl $f(n)$ ein Teiler der ganzen Zahl $g(n)$ ist.

3.5

Besitzt das Polynom $X^7 + 11 X^3 - 33 X + 22$ einen Teiler der Form $(X - a) (X - b)$, wobei $a$ und $b$ rationale Zahlen sind?

3.6

Seien $p(X)$, $q(X)$, $f(X)$ und $g(X)$ Polynome mit algebraischen Koeffizienten. Teile das Polynom $d(X)$ die beiden Polynome $f(X)$ und $g(X)$. Zeige, dass $d(X)$ dann auch das Polynom $p(X) \cdot f(X) + q(X) \cdot g(X)$ teilt.

3.7

Seien $f(X) = 3 X^4 - X^3 + X^2 - X + 1$ und $g(X) = X^3 - 2 X + 1$. Gib Polynome $q(X)$ und $r(X)$ mit $f(X) = q(X) g(X) + r(X)$ an, so dass $q(X)$ und $r(X)$ Polynome mit rationalen Koeffizienten sind und $\deg r(X) < \deg g(X)$.

3.8

Inwiefern kann ein Polynom in den zwei Unbestimmten $X$ und $Y$ als Polynom in einer Unbestimmten $Y$, dessen Koeffizienten Polynome in $X$ sind, aufgefasst werden? Wie lässt sich diese Aussage auf Polynome mit mehr als zwei Unbestimmten verallgemeinern?

3.9

Schreibe $\frac{1}{\sqrt{2} + 5 \sqrt{3}}$ als polynomiellen Ausdruck mit rationalen Koeffizienten in $\sqrt{2}$ und $\sqrt{3}$.

3.10

Sei $t$ eine komplexe Zahl, sodass $\mathbf {Q}[t] = \mathbf {Q}(t)$. Zeige, dass $t$ algebraisch ist.

Der vietasche Satz

3.11

Gib eine normierte Polynomgleichung dritten Grades an, welche $1$ als zweifache Lösung, $2$ als einfache Lösung und keine weiteren Lösungen besitzt.

3.12

Warum sind beide Seiten von (3.16) sowohl in $g(X)$ als auch in $h(X)$ linear, und warum reicht es daher, die Gl. (3.16) nur für $g(X) = X^m$ und $h(X) = X^n$ nachzurechnen?

3.13

Sei $f(X)$ ein Polynom mit algebraischen Koeffizienten mit $\deg f \le n$ für eine natürliche Zahl $n$. Seien $x_0$, ..., $x_n$ paarweise verschiedene algebraische Zahlen mit $f(x_0) = \dots = f(x_n) = 0$. Zeige, dass $f(X)$ das Nullpolynom ist.

3.14

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei Polynome mit algebraischen Koeffizienten und $\deg f$, $\deg g \le n$ für eine natürliche Zahl $n$. Seien $x_0$, ..., $x_n$ algebraische Zahlen mit $f(x_0) = g(x_0)$, ..., $f(x_n) = g(x_n)$. Zeige, dass dann $f(X) = g(X)$ gilt.

3.15

Seien $x_0$, ..., $x_n$ paarweise verschiedene algebraische Zahlen. Sei $i \in \left\{ 0, \dots , n \right\}$. Zeige, dass genau ein Polynom $f(X)$ vom Grade höchstens $n$ mit algebraischen Koeffizienten und

$$\begin{aligned} f(x_j) = {\left\{ \begin{array}{ll} 1 &{} {\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r}} \ j = i \ {\text {und}}\\ 0 &{} {\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r}} \ j \in \left\{ 0, \dots , i - 1, i + 1, \dots , n \right\} \end{array}\right. } \end{aligned}$$

existiert.

3.16

Seien $x_0$, ..., $x_n$ paarweise verschiedene algebraische Zahlen. Seien $y_0$, ..., $y_n$ weitere algebraische Zahlen. Zeige, dass genau ein Polynom $f(X)$ vom Grade höchstens $n$ mit algebraischen Koeffizienten und $f(x_i) = y_i$ für $i \in \left\{ 0, \dots , n \right\}$ existiert.

3.17

Seien $g(X)$ und $h(X)$ zwei Polynome. Begründe, warum mittels vollständiger Induktion

$$ (g h)^{(k)}(X) = \sum _{i + j = k} \left( {\begin{array}{c}k\\ i\end{array}}\right) \, g^{(i)}(X) \, h^{(j)}(X) $$

aus Proposition 3.3 folgt.

3.18

Sei $f(X)$ ein Polynom. Zeige, dass $f^{(n + 1)} = 0 \iff \deg f \le n$ für jede natürliche Zahl $n$.

3.19

Sei $f(X)$ ein Polynom und $x$ eine komplexe Zahl. Zeige, dass die Entwicklung von $f(X)$ nach $X - x$ durch die taylorsche$^{6}$ Formel

$$ f(X) = \sum _{k = 0}^\infty \frac{f^{(k)}(x)}{k!} \, (X - x)^k $$

gegeben ist.

3.20

Gib die zweite elementarsymmetrische Funktion in den fünf Unbestimmten $X$, $Y$, $Z$, $U$ und $V$ explizit an.

3.21

Sei $X^4 + a_3 X^3 + a_2 X^2 + a_1 X + a_0 = 0$ eine normierte Polynomgleichung vierten Grades, deren Lösungen mit Vielfachheiten $x_1$, $x_2$, $x_3$ und $x_4$ seien. Drücke die Koeffizienten $a_0$, $a_1$, $a_2$ und $a_3$ explizit als Polynome in den $x_i$ aus.

3.22

Verwende den vietaschen Satz für $n = 2$, um die bekannte Lösungsformel für normierte quadratische Gleichungen herzuleiten.

Die Diskriminante

3.23

Sei $f(X, Y, Z, W) \ {:=}\ X Y + Z W + X Y Z W$. Wie viele $4$-stellige Permutationen $\sigma$ gibt es, sodass $\sigma \cdot f = f$?

3.24

Zeige, dass $e_k(\underbrace{1, \dots , 1}_n) = \left( {\begin{array}{c}n\\ k\end{array}}\right)$.

3.25

Schreibe $X^2 + Y^2 + Z^2$ als Polynom in den elementarsymmetrischen Funktionen in $X$, $Y$ und $Z$.

3.26

Schreibe $X_1^2 + X_2^2 + \dots + X_n^2$ als Polynom in den elementarsymmetrischen Funktionen in $X_1$, ..., $X_n$.

3.27

Sei $X^3 + p X + q = 0$ eine reduzierte kubische Gleichung. Zeige, dass ihre Diskriminante durch $-4 p^3 - 27 q^2$ gegeben ist.

3.28

Sei $X^3 + p X + q = 0$ eine reduzierte kubische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten $p$ und $q$. Zeige, dass die Gleichung drei verschiedene Lösungen besitzt, wenn $q$ ungerade ist.

3.29

Berechne die Diskriminante einer allgemeinen kubischen Gleichung $X^3 + a X^2 + b X + c = 0$.

3.30

Zeige, dass $X^3 - 5 X^2 + 3 X + 9 = 0$ höchstens zwei verschiedene Lösungen hat.

3.31

Zeige, dass die Diskriminante einer Polynomgleichung $X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0 = 0$ mit Lösungen $x_1$, ..., $x_n$ durch das Quadrat der vandermondschen$^{7}$ Determinanten

$$ \det \begin{pmatrix} 1 &{} \dots &{} 1 \\ x_1 &{} \dots &{} x_n \\ \vdots &{} &{} \vdots \\ x_1^{n - 1} &{} \dots &{} x_n^{n - 1} \end{pmatrix} $$

gegeben ist.

3.32

Sei $X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0 = 0$ eine normierte Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten. Zeige, dass sie mindestens eine nichtreelle Nullstelle besitzt, wenn ihre Diskriminante negativ ist.

3.33

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei normierte Polynome mit rationalen Koeffizienten und mit Nullstellen (mit Vielfachheiten) $x_1$, ..., $x_n$ beziehungsweise $y_1$, ..., $y_m$. Zeige, dass der Ausdruck $R = \prod \limits _{i, j} (x_i - y_j)$ ein Polynom in den elementarsymmetrischen Funktionen der Koeffizienten von $f(X)$ und den elementarsymmetrischen Funktionen der Koeffizienten von $g(X)$ ist.

3.34

Seien $X^2 + a X + b = 0$ und $X^2 + c X + d = 0$ zwei quadratische Gleichungen. Gib einen in $a$, $b$, $c$ und $d$ polynomiellen Ausdruck an, der genau dann verschwindet, wenn die beiden Gleichungen eine gemeinsame Lösung besitzen.

Transzendenz von $\varvec{\uppi }$ und die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises

3.35

Sei $(z_n)$ eine konvergente komplexe Zahlenfolge mit Grenzwert $z$. Seien die $z_n$ algebraisch. Ist dann auch $z$ algebraisch?

3.36

Ist $\root 3 \of {\uppi }$ eine algebraische Zahl? Ist $\uppi ^3$ algebraisch?

3.37

Ist folgendes Problem lösbar: Gegeben ein Kreis, konstruiere nur mit Zirkel und Lineal ein gleichseitiges Dreieck mit demselben Flächeninhalt?

3.38

Konstruiere eine Folge paarweise verschiedener transzendenter Zahlen.

3.39

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Gib eine Konstruktionsvorschrift für eine Primzahl $p > n$.

3.40

Seien $a_0$, ..., $a_m$ komplexe Zahlen mit $a_m \mathrm {e}^m + a_{m - 1} \mathrm {e}^{m - 1} + \dots + a_1 \mathrm {e}+ a_0 = 0$. Für eine natürliche Zahl $p$ definieren wir weiter das Polynom

$$\begin{aligned} P(X) = \frac{X^{p - 1} (X - 1)^p \dots (X - m)^p}{(p - 1)!}. \end{aligned}$$

Zeige, dass der Ausdruck

$$\begin{aligned} \left| a_0 P^*(0) + a_1 P^*(1) + \dots + a_m P^*(m)\right| \end{aligned}$$

für großes $p$ beliebig nahe an null kommt.

3.41

Zeige, dass $\mathrm {e}$ eine transzendente Zahl ist, und gehe dabei ganz ähnlich wie im Beweis von Theorem 3.5 vor.

3.42

Sei

$$ x \ {:=}\ \sum _{k = 0}^\infty 10^{- k!}. $$

Zeige, dass $x$ eine konvergente Summe ist, und gib ihre ersten Stellen an. Die Zahl $x$ heißt liouvillesche Konstante.

3.43

Zeige mit elementaren Methoden, dass die liouvillesche Konstante eine transzendente Zahl ist.

Anmerkungen

• 1. Der Grund, warum wir den Grad nur für normierte Polynome definieren, liegt darin, dass es sich konstruktiv für Allgemeines $a_n$ (aus einem beliebigen Koeffizientenbereich) im Allgemeinen nicht entscheiden lässt, ob $a_n = 0$ oder $a_n \ne 0$. Konstruktiv ist der Grad für ein beliebiges, nichtnormiertes, Polynom damit nicht immer wohldefiniert. Auf der anderen Seite ist $\deg f \le n$ ein valides Urteil.

• 2. François Viète, 1540–1603, französischer Rechtsanwalt und Mathematiker.

• 3. Carl Louis Ferdinand von Lindemann, 1852–1939, deutscher Mathematiker.

• 4. Johann Heinrich Lambert, 1728–1777, schweizerischer Mathematiker, Physiker und Astronom.

• 5. Wir folgen im Wesentlichen Oskar Perrons (1880–1975, deutscher Mathematiker) Beweis in [1].

• 6. Brooke Taylor, 1685–1731, britischer Mathematiker.

• 7. Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735–1796, französischer Mathematiker, Musiker und Chemiker.