Statistische Physik

Zusammenfassung

Im vierten Kapitel behandeln wir Probleme der Statistischen Physik. Nach einem einführenden Diskurs über Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachten wir verschiedene Modelle zur Beschreibung des Random Walks. Nach einem weiteren Abschnitt über thermisches Hüpfen, widmen wir uns zunächst der Thermalisierung in Gasen als Beispiel für eine numerische Behandlung der Helmholtz-Gleichung und abschließend dem Ising-Modell als einem theoretischen Modell zur Beschreibung von Phasenübergängen.

Übungen

4.1 Brown’sche Bewegung mit diskreten Schritten

Im Text betrug die Schrittweite bei der Brown’schen Bewegung zunächst $\pm 1$ und wurde dann durch Gauß-förmig verteilte Schrittweiten ersetzt, um die in Abb. 4.2 zu erkennende „Kammstruktur“ zu eliminieren. Alternativ können Sie Schritte mit den Schrittweiten $\pm 1$ (jeweils mit Wahrscheinlichkeit $p<1/2$) und null (mit Wahrscheinlichkeit $1-2p$) wählen. Das bedeutet, dass dem Teilchen neben der Möglichkeit, nach links und nach rechts zu springen, auch die Möglichkeit eingeräumt wird, bei der aktuellen Position zu verharren. Untersuchen Sie die sich ergebende Wahrscheinlichkeitsverteilung für

• sehr kleine p,

• $p=1/3$,

• Werte von p, die nur geringfügig kleiner als 1 / 2 sind.

4.2 Brown’sche Bewegung mit Reibungsterm

In Abschn. 4.6 haben wir die Annahme gemacht, dass bei jedem Stoß der Impulsübertrag proportional zur Relativgeschwindigkeit ist. Durch diese Annahme haben wir ein realistisches Verhalten inklusive dem Erreichen einer thermischen Gleichgewichtsverteilung im Geschwindigkeitsraum erreicht. Alternativ hätten wir die unsichtbaren Teilchen auch als viskose Flüssigkeit auffassen können, was zu einem Reibungsterm im deterministischen Teil der Bewegungsgleichung führt:

$$\begin{aligned} \left( \frac{\text {d}v}{\text {d}t} \right) _\mathrm{{det}} = - \mu v. \end{aligned}$$

(4.144)

Gehen Sie vom Programm rw4.cpp aus, implementieren Sie die nötigen Änderungen und untersuchen Sie das so beschriebene System.

4.3 Random-Walk

Eine weitere Annahme in Abschn. 4.6 war, dass die Einzelschritte beim Random-Walk statistisch unabhängig voneinander erfolgen. Diese Bedingung können Sie jedoch fallen lassen und stattdessen annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit nach rechts zu wandern, davon abhängt, ob der vorangegangene Schritt ebenfalls nach rechts erfolgte oder nicht. Gehen Sie dazu der Einfachheit halber von rw1.cpp aus und setzen für die Wahrscheinlichkeit eines Sprunges nach links

$$\begin{aligned} P_{n+1,\mathrm{links}} = \left\{ \begin{array}{ll} (1/2) + \alpha , \; &{} {\text {wenn Sprung}}\, n \, {\text {nach rechts erfolgte,}} \\ (1/2) - \alpha , \; &{} {\text {wenn Sprung}}\, n \, {\text {nach links erfolgte.}} \end{array}\right. \end{aligned}$$

(4.145)

Untersuchen Sie insbesondere Fälle mit positivem und negativem $\alpha$.

4.4 Thermisches Gleichgewicht

In Abschn. 4.7 haben wir gesehen, dass sich für $t \rightarrow \infty$ ein Gleichgewicht in der Besetzung der beiden Potentialmulden einstellt. Diese Gleichgewichtsverteilung hängt von dem Potentialunterschied der beiden Minima ab. Schreiben Sie ein Programm, das diese Potentialdifferenz in einer Schleife variiert und jeweils die Besetzung $P_\mathrm{links}$ und $P_\mathrm{rechts}$ im Gleichgewichtszustand ermittelt.

4.5 Thermisches Hüpfen

In Abschn. 4.7 haben wir das thermisches Hüpfen zwischen zwei Potentialminima betrachtet. Das dort vorgestellte Programm (je nach Fragestellung th1.cpp oder th2.cpp) lässt sich aber leicht auf Potentiale erweitern, die mehr Minima aufweisen, z. B.:

$$\begin{aligned} V(x) = - V_0 \cos ( \alpha x). \end{aligned}$$

(4.146)

Beachten Sie, dass nun die Unterscheidung links $\leftrightarrow$ rechts zur Positionsbestimmung des Teilchens nicht mehr ausreicht. Untersuchen Sie, wie das Teilchen (ausgehend vom Minimum bei $x=0$) zuerst in die beiden benachbarten Minima bei $x=\pm 2\pi /\alpha$ wandert, dann zu den übernächsten Minima bei $x=\pm 4\pi /\alpha$ usw. Beschreiben Sie den Vorgang durch einen Random-Walk mit endlicher, fixer Sprungweite, wie wir es bei rw1.cpp getan haben.

4.6 Boltzmann-Verteilung

Beim thermischen Hüpfen in Abschn. 4.7 haben wir die sich für $t \rightarrow \infty$ einstellende Gleichgewichtsverteilung bestimmt (Abb. 4.10). Diese Verteilung sollte durch die Formel

$$\begin{aligned} P(x) = \frac{1}{N} \exp (-m \beta V(x)) \end{aligned}$$

(4.147)

(Boltzmann-Verteilung) beschrieben werden. N ist dabei ein Normierungsfaktor, der Parameter $\beta = 1 / k T$ (k ist die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur) kann aus der Tatsache bestimmt werden, dass im thermischen Gleichgewicht die mittlere Energie in jedem Freiheitsgrad durch kT / 2 gegeben ist:

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle = \frac{1}{2} k T. \end{aligned}$$

(4.148)

Fügen Sie in das Programm th1.cpp die Zeilen ein, um $\langle v^2 \rangle$ zu berechnen und auszugeben. Bestimmen Sie dann $m \beta$ und damit die Boltzmann-Verteilung (4.147). Wenn Sie dieses Ergebnis zusammen mit der Endverteilung $P(x, t_\mathrm{end})$ in einem Diagramm darstellen, sollten die beiden Kurven nicht mehr voneinander zu trennen sein.