Zusammenfassung
Die zentrale Aufgabe der Integralrechnung ist die Bestimmung von Flächeninhalten. Ausgehend von zwei wichtigen Ergebnissen des Archimedes werden die wesentlichen Regeln der Integralrechnung mit Hilfe hyperreeller Zahlen entwickelt. Am Ende des Kapitels werden wesentliche infinitesimalmathematische Gedanken von Archimedes und Leibniz zur Integration dargestellt.
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Notes
- 1.
- 2.
Diese Beweisführung findet man konkret in Abschn. 4.6.1.4.
- 3.
Es führt vor allem auf diese Weise direkt zum üblichen Integrieren.
- 4.
Vgl. auch Abschn. 4.2.3.
- 5.
Welche Bedeutung das Vorzeichen bei einem Flächeninhalt hat, wird in Abschn. 4.2.2 festgelegt.
- 6.
Gegebenenfalls ist eine entsprechende Definition des reellen Teils als „Ersatz“ für LIM vorzunehmen.
- 7.
- 8.
Sind die infinitesimalen Schrittweiten \(\mathrm{{d}}x_{i}\) unterschiedlich, gilt statt dessen: \(\sum _{i=1}^{{N}}\mathrm{{d}}x_{i} = x_{e}-x_{a}\).
- 9.
Die Sternunterscheidung wird wie üblich fallen gelassen.
- 10.
Dass es unter hyperfinit vielen Zahlen \(u_i\) eine größte gibt, gehört zum Komfort der hyperreellen Zahlen.
- 11.
Vgl. Definition 3.5.
- 12.
Das gilt nicht für offene oder halboffene Intervalle.
- 13.
Oben wurde \(\mathrm{{d}}z=\frac{\mathrm{{d}}x}{k}\) bereits gefunden.
- 14.
Ist \(D_f\) ein abgeschlossenes Intervall [A, B], so muss das infinitesimale h natürlich positiv für \(x=A\) und negativ für \(x=B\) gewählt werden.
- 15.
Man vergleiche Abschn. 3.1.8 zum Unterschied von \(\mathrm{{d}}y\) und v.
- 16.
Man vergleiche die Bestimmung des reellen Teils von \(\sum \limits _{i=1}^{{N}}\alpha _i\cdot \mathrm{{d}}x\) in Abschn. 4.4.
- 17.
Gemeint ist die Funktion \(\mathop {\text {NULL}}: x \longmapsto 0\).
- 18.
Den Begriff „teilweise“ kann man auch so verstehen, dass nur von einem Teil des Integranden eine Stammfunktion gefunden werden muss.
- 19.
Die Konstante c muss hier nicht geschrieben werden, weil das unbestimmte Restintegral die Bedeutung einer Menge von Funktionen besitzt.
- 20.
Francesco Bonaventura Cavalieri (1598–1647).
- 21.
Paul Guldin, 1577–1643; seine Regeln sollen bereits dem griechischen Mathematiker Pappus von Alexandria bekannt gewesen sein.
- 22.
Man vgl. den Abschn. 4.6.1 über Archimedes.
- 23.
Streng genommen musste man auch bei der Rotation um die y-Achse so argumentieren und statt dessen \(\int \limits _{a}^{b}{\! (x+\frac{\mathrm{{d}}x}{2})\cdot h(x)\,\mathrm{{d}}x}\) betrachten. Der zusätzliche Summand \(\frac{\mathrm{{d}}x}{2}\sum \limits _{i=1}^{{N}}{h(x_i)\mathrm{{d}}x}\) ist jedoch infinitesimal.
- 24.
Die Exaktheit bei parabolischem Querschnitt geht wieder auf Archimedes zurück, vgl. Abb. 4.40.
- 25.
Zur Summen- und Differenzeigenschaft siehe Abschn. 4.4.
- 26.
vgl. Abschn. 3.5.1, wo noch die Leibnizsche Schreibweise benutzt wird.
- 27.
Von anderen Himmelskörpern werde hierbei abgesehen.
- 28.
Johannes Kepler, 1571–1630.
- 29.
Thomas Simpson; 1710–1761.
- 30.
Man vergleiche Abschn. 4.6.1.4.
- 31.
Die Wiedergabe von Archimedes’ Gedanken in diesem Abschnitt folgt der Darstellung in [1].
- 32.
Man beachte, dass das Dreieck ABC negativ orientiert ist.
- 33.
Marcus Tullius Cicero (106–43 v. Chr.); zitiert nach [2].
- 34.
potentiell unendlich im Gegensatz zu aktual unendlich.
- 35.
Der Ausschnitt des Textes „Des Archimedes Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen, an Eratosthenes“ wird hier in der Übersetzung von Heiberg wiedergegeben, zu finden in [1].
- 36.
Die Trapeze werden durch nur zwei ihrer Gegenecken gekennzeichnet.
- 37.
Die archimedische Eigenschaft gilt sowohl in \({\mathbb {R}}\) als auch in
. Für infinitesimale Zahlen gilt sie zusammen mit einer infiniten hypernatürlichen Zahl 
.
. Für infinitesimale Zahlen gilt sie zusammen mit einer infiniten hypernatürlichen Zahl 
.Literatur
Archimedes: Werke. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt (1972)
Sonar, T.: 3000 Jahre Analysis. Springer, Berlin (2016)
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Baumann, P., Kirski, T. (2019). Integralrechnung. In: Infinitesimalrechnung. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-56792-0_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-56792-0_4
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-56792-0
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