Der Lebesguesche Inhalt

Zusammenfassung

Wir hatten die Grundeinsicht, dass der Zufall in einem physikalischen Prozess zutage tritt, der in einem kontinuierlichen Zustandsraum abläuft. Wir müssen dieses Kontinuum als mögliche Menge der Elementarereignisse ernst nehmen. Auf diesem Raum brauchen wir eine Abstraktion des Zählmaßes, die uns sagt, was viel und was wenig ist, denn die elementaren Ereignisse sind nicht mehr abzählbar. Und diese Abstraktion ist der Inhalt , oder präziser: ein Typizitätsmaß . Das ist alles recht einleuchtend und sollte schnell von der Hand gehen, aber es gibt ein in der Wurzel des Kontinuums liegendes Ärgernis, dem wir bisher nur ganz kurz begegnet sind und das wir einfach übergangen haben: Wenn die zugrunde liegende Menge der Elementarereignisse ein Kontinuum ist und wir denken, einer jeden Teilmenge einen Inhalt zuordnen zu können, dann irren wir. Nun wird man denken, dass diese Tatsache zu den unverständlichsten überhaupt gehört (das ist vielleicht richtig) und dass der Beweis praktisch undenkbar sein muss (das ist falsch). Letzterer ist denkbar einfach. Um das zu verstehen, muss erst klar sein, was „Inhalt“ bedeutet, und dann konstruieren wir eine Menge, der kein Inhalt zugeordnet werden kann.