Der elektrische Strom: Die Grundlagen

Zusammenfassung

Solange man sich nur mit der Physik der ruhenden Ladungen befasst, mit der Elektrostatik, bleibt die Elektrizitätslehre eine zwar interessante, aber etwas blutleere Angelegenheit. Erst durch das Fließen von Ladungen, durch den elektrischen Strom, gewinnt die Elektrizität Leben und praktische Bedeutung. Wir werden uns in den folgenden Kapiteln mit dem Stromfluss in verschiedenen Stoffklassen befassen. Hier, in diesem Kapitel, geht es zunächst um die grundlegenden Gesetze des Stromflusses: um den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung, der in vielen Fällen, z. B. bei der Stromleitung in Metallen, durch das sehr einfache Ohmsche Gesetz gegeben ist, um die Erzeugung von Wärme durch den elektrischen Strom und um die Kirchhoffschen Regeln, die für die Verteilung der Ströme in einem Netzwerk von Leitern gelten. Am Schluss des Kapitels gehen wir noch auf einige technische Aspekte der Strom- und Spannungsmessung ein. – Wir beschränken die Diskussion zunächst auf zeitlich konstante Ströme, d. h. auf den Gleichstrom. Das besondere Verhalten von zeitlich veränderlichen Strömen werden wir erst in den Kap. 15, 16 und 17 besprechen.

Aufgaben

6.1 Leistung und Innenwiderstand.

Bei welchem Lastwiderstand $R_{\text{a}}$ ist die von einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung U und dem Innenwiderstand $R_{\text{i}}$ abgegebene Leistung maximal und wie groß ist sie (sofern die Spannungsquelle diese Belastung überhaupt aushält)?

6.2 Leistung und Temperaturabhängigkeit des Widerstands (1).

Ein Toaster verbraucht bei der Netzspannung 230 V eine Leistung⁵ von 900 W, wobei die Heizdrähte bis zur Rotglut erhitzt werden. Welcher Strom fließt durch die Drähte? Im kalten Zustand nach dem Einschalten des Gerätes ist der Widerstand der Heizdrähte deutlich kleiner. Um zu vermeiden, dass bei gleichzeitiger Nutzung anderer Verbraucher die Sicherung anspricht, wenn man den Toaster einschaltet, sollte der Anfangsstrom nicht zu groß sein. Schätzen Sie unter Annahme einer vernünftigen Betriebstemperatur den Temperaturkoeffizienten α ab, den die Heizdrähte höchstens haben dürfen, damit der Anfangsstrom um nicht mehr als 40 % höher ist als nach der Erwärmung. Das ist zu vergleichen mit Tab. 6.1.

6.3 Leistung und Temperaturabhängigkeit des Widerstands (2).

Wenn die Wendel in einer guten alten Glühlampe durchbrannte, dann meist kurz nach dem Einschalten des Lichts. Zur Erklärung betrachten wir als einfaches Modell einen langen kreisrunden Draht, durch den ein konstanter Strom fließt und der sich auf der Temperatur T befindet. An einer Stelle sei der Drahtradius um einen Betrag $\Updelta r$ kleiner als der normale Radius r. An dieser Stelle wird sich die Temperatur um einen Wert $\Updelta T$ von T unterscheiden.

a) Der Draht ist so heiß, dass die Ohmsche Wärme ausschließlich durch Wärmestrahlung abgeführt wird, näherungsweise als Schwarz-Körper-Strahlung. Wie hängt $\Updelta T$ von $\Updelta r$ ab? (Anstatt mit (6.7) zu arbeiten, kann man zwei Grenzfälle für die T-Abhängigkeit des elektrischen Widerstands betrachten: (1) Es ist $\alpha=0$, (2) es ist $\rho_{\text{el}}\sim T$).

b) Nach dem Einschalten der Lampe ist der Strom zunächst größer als vorher im heißen Zustand. Ohne Rechnung kann man nun beschreiben, wie die Erwärmung der Wendel und ihr Durchbrennen zeitlich ablaufen.

6.4 Der Spannungsteiler als Spannungsquelle.

An eine Spannungsquelle mit der Spannung U ₀ ohne Innenwiderstand wird eine Serienschaltung aus zwei Widerständen R ₁ und R ₂ angeschlossen (siehe Abb. 6.13b). Man zeige: Wird diesem Spannungsteiler durch einen externen Verbraucher, der parallel zu R ₁ geschaltet ist, ein Strom entnommen, verhält er sich wie eine Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung $U=U_{0}R_{1}/(R_{1}+R_{2})$ und dem Innenwiderstand $R_{i}=R_{1}R_{2}/(R_{1}+R_{2})$.

6.5 Die nichtabgeglichene Wheatstonesche Brücke.

a) Wie groß ist der Strom I _i durch das Messinstrument einer Wheatstoneschen Brücke, wenn Gl. (6.38) nicht erfüllt ist? Hinweis: Die beiden Brückenzweige in Abb. 6.19 bilden zwei Spannungsteiler mit Leerlaufspannungen und Innenwiderständen (siehe vorige Aufgabe).

b) Zur Vereinfachung wählen wir ein Beispiel, in dem $R_{x}=R_{3}$ ist. Der Brückenabgleich sei nicht perfekt: $R_{1}=R-\Updelta R$ und $R_{2}=R+\Updelta R$ mit $\Updelta R\ll R$. Welcher Strom fließt durch das Messinstrument?

c) Zahlenbeispiel: Der vom Messinstrument gerade noch nachweisbare Strom sei $I_{i}=10^{-6}$ A und der auszumessende Widerstand R _x sei $R_{x}\approx R_{3}=10\,\mathrm{k}\Upomega$. Ferner sei $R_{i}\ll R_{3}$ und $R\ll R_{3}$. Wie groß ist der relative Fehler bei der Bestimmung von R _x ? Wie groß muss man die an die Brücke angelegte Spannung U ₀ wählen, damit der Fehler kleiner als 1 % wird? Suchen Sie einen vernünftigen Wert von $R_{1}+R_{2}$ für den Schleifdraht. Welche Leistung gibt die Spannungsquelle dann an den Draht ab?

6.6 Stromfluss in kontinuierlichen Medien.

Zwei beliebig geformte Elektroden befinden sich inmitten eines großen Volumens, das ein Medium mit der Dielektrizitätskonstanten ϵ und der Leitfähigkeit $\sigma_{\text{el}}$ enthält. Die Elektroden werden über dünne isolierte Drähte mit einer weit entfernten Spannungsquelle verbunden. Die Störung des elektrischen Feldes durch die Zuführungsdrähte soll vernachlässigt werden. Man kann den fließenden Gesamtstrom aus der Stromdichte an den Elektrodenoberflächen ermitteln und den elektrischen Widerstand der Anordnung in Beziehung zur Kapazität zwischen den Elektroden setzen. Formaler Test: Plattenkondensator, Beispiel: Widerstand zwischen zwei konzentrischen zylindrischen Leitern mit der Länge l und den Radien $r_{\text{i}}$ und $r_{\text{a}}$.