Zusammenfassung
Zunächst wird gezeigt, wie man beim Wechselstrom die Amplitude und die Phasenlage von Spannung und Stromstärke graphisch und rechnerisch darstellen kann, denn auf beide Größen kommt es im Folgenden entscheidend an. Dann untersuchen wir Wechselstromkreise, die neben der Spannungsquelle einen Ohmschen Widerstand, einen Kondensator oder eine Induktivität enthalten. Es wird gezeigt, dass Kondensator und Induktivität einen Wechselstromwiderstand besitzen und wie die Kirchhoffschen Regeln auch bei Wechselstrom angewendet werden können. Im zweiten Abschnitt befassen wir uns ausführlich mit elektrischen Schwingungen in einem Stromkreis, der einen Kondensator und eine Induktivität enthält. Dabei zeigt sich, dass eine strikte Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Schwingungen besteht. Wir besprechen einige Schaltungen zur Schwingungserzeugung, darunter auch einen Quarz-stabilisierten Oszillator. Im letzten Abschnitt wird behandelt, was geschieht, wenn bei hochfrequenten Wechselströmen die quasistationäre Näherung am Ende ist, und wie man in diesem Frequenzbereich Wechselströme und Wechselspannungen erzeugen kann. Wir werden sehen, wie aus dem Schwingkreis ein Hohlraum-Resonator wird, und wie man mit einem Hohlraum-Resonator Teilchen beschleunigen kann.
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Notes
- 1.
In der Elektrotechnik wird die imaginäre Einheit meist mit j statt mit \({\mathrm{i}}\) bezeichnet, um eine Verwechslung mit dem Strom \(i(t)\) auszuschließen. Da wir nur die Variablen, nicht aber mathematische Symbole kursiv schreiben, ist eine Verwechslung zwischen \({\mathrm{i}}\) und \(i(t)\) kaum möglich.
- 2.
Diese Idealisierung ist bei sachgerechter Leitungsführung von niedrigen Frequenzen bis in den mittleren Hochfrequenzbereich gerechtfertigt. Bei sehr hohen Frequenzen \((\gtrsim 100\) MHz) wird jedoch die Vermeidung des „Cross-talk“ zu einem echten Problem.
- 3.
Die Dämpfungskonstante Γ gibt an, wie schnell die Energie der Schwingung auf \(1/\mathrm{e}\) abgeklungen ist. \(\gamma=\Gamma/2\) ist die Dämpfungskonstante der Schwingungsamplitude. Die entsprechenden Zeitkonstanten sind \(\tau_{E}=1/\Gamma\) bzw. \(\tau_{A}=1/\gamma\). Der Gütefaktor oder Q-Wert ist also \(2\pi\) mal der Zahl der Schwingungen, die der Oszillator macht, bis seine Energie auf \(1/\mathrm{e}\)abgesunken ist.
- 4.
Der Zusatz „LC“ ist hier angebracht, weil es noch eine ganze Reihe anderer Oszillatortypen gibt (siehe Lehrbücher der Elektronik, z. B. U. Tietze und Ch. Schenk, Halbleiter-Schaltungstechnik, Springer-Verlag).
- 5.
Bis dahin gab es für die drahtlose Nachrichtenübermittlung nur den Funkensender (H. Hertz, 1888) mit der 1896 von Marconi erfundenen Antenne. Damit konnte man nur Morsezeichen, nicht aber Sprache oder Musik übertragen, denn die „Trägerfrequenz“ bestand aus einer raschen Folge von stark gedämpften Wellenzügen, die durch das Prasseln der Funken in der Sendeanlage gegeben war (vgl. Bd. IV, Abb. 2.21). Erst mit dem Meißner-Oszillator konnte man eine Trägerfrequenz konstanter Amplitude erzeugen, die mit Sprache oder Musik moduliert werden konnte. – Ursprünglich wurden LC-Oszillatoren natürlich mit Röhren statt mit Transistoren gebaut, und auch heute ist die Triode als Senderöhre nicht ausgestorben.
- 6.
Besselfunktionen spielen allgemein in der Physik bei Problemen mit Kreis- oder Zylindersymmetrie eine wichtige Rolle. Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846), Kaufmannslehrling in Bremen, befasste sich in seiner Freizeit mit Navigation und Astronomie sowie mit den dazu gehörigen mathematischen Grundlagen. Er berechnete auf eine höchst originelle Weise die Bahndaten des Halleyschen Kometen, und um seine Rechnungen einem Fachmann zu zeigen, sprach er auf der Straße den Bremer Astronomen Olbers an. Der war begeistert und förderte Bessel nach Kräften. – 1810 wurde Bessel Professor für Astronomie an der Universität Königsberg/Ostpreußen. Man verdankt ihm außer den Besselfunktionen und einer fundamentalen Arbeit über das Pendel zahlreiche astronomische Messungen und Berechnungen höchster Genauigkeit, unter anderem die ersten Bestimmungen von Sternparallaxen (vgl. Bd. I, Abb. 1.3).
- 7.
Das TESLA-Projekt beinhaltete zwei Linearbeschleuniger mit gegeneinander gerichteten Strahlen von je \(250\,\mathrm{G}e{\mskip-2.0mu}V\). Die hierfür entwickelte Technologie soll beim ILC (International Linear Collider) verwendet werden, an dessen Vorbereitung z. Z. gearbeitet wird. Das Ziel ist die Untersuchung von \(\mathrm{e}^{+}\)-\(\mathrm{e}^{-}\)-Stößen bei Schwerpunktsenergien bis zu \(E_{\text{cm}}=500\,\mathrm{G}e{\mskip-2.0mu}V\), evtl. bis \(1\,\mathrm{T}e{\mskip-2.0mu}V\). Die hier gezeigten Kavitäten werden auch beim Freie Elektronen Laser XFEL eingesetzt, der zur Zeit (2015) am DESY gebaut wird und eine Röntgenstrahlungsquelle darstellt, deren Intensität alles Bisherige um viele Größenordnungen übertrifft.
- 8.
Mit dem magnetischen Moment der Elektronen, die im ferrimagnetischen YIG-Kristall ausgerichtet sind, ist ein Drehimpuls verbunden (14.47). Deshalb stellen sich die magnetischen Momente nicht in Feldrichtung, sie präzedieren mit der Larmor-Frequenz (14.25). Beim YIG-Kristall ist \(2\pi/\gamma=0{,}0339\,\mathrm{T/GHz}\); beim freien Elektron ist \(2\pi/\gamma_{\text{e}}=0{,}0357\,\mathrm{T/GHz}\). γ ist das gyromagnetische Verhältnis (14.24). – Der YIG-Kristall ist kugelförmig geschliffen, weil nur bei der Kugel die Entmagnetisierungsfaktoren in allen Raumrichtungen gleich sind. Dann ist garantiert, dass die Präzession gleichmäßig erfolgt.
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Aufgaben
Aufgaben
17.1 Parallelschaltung zweier induktiver Widerstände.
Berechnen Sie in komplexer Darstellung die Ströme in den beiden Zweigen der in Abb. 17.11 gezeigten Schaltung. Wie groß ist der Gesamtstrom und sein Betrag? Welche Phasendifferenz besteht zwischen der angelegten Spannung und dem Gesamtstrom? (Die geschlossene Formel für die Phasendifferenz ist länglich und sollte am Beispiel einfacher Spezialfälle auf Plausibilität geprüft werden).
17.2 Parallelschaltung frequenzabhängiger Widerstände.
Die Frequenz in dem in Abb. 17.4 gezeigten Versuch sei so eingestellt, dass alle drei Lampen gleich hell leuchten. Wie groß ist diese Frequenz und welcher Widerstand R L ergibt sich für die Lampen mit den in Abb. 17.4 angegebenen Daten? Wie groß sind die Phasendifferenzen der Ströme gegenüber der Betriebsspannung \(\check{U}\)? Muss die Spannungsquelle Blindleistung zwischenspeichern?
17.3 Impedanz des idealen Quarzes.
Abbildung 17.39 zeigt zwei Ersatzschaltbilder des idealen Quarzes, eines für den Quarz allein, das andere mit einem zusätzlichen Trimmkondensator. Wie groß sind die Impedanzen? Wie beeinflusst die zusätzliche Kapazität \(C_{\text{s}}\) die Eigenfrequenz?
Zu Aufgabe 17.3
17.4 Sperrkreis.
Wie groß ist in der in Abb. 17.23c gezeigten Schaltung das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung als Funktion des Frequenz-Verhältnisses \(\omega/\omega_{0}\)? Die Verlustleistungen in der Spule und im Kondensator sollen vernachlässigt werden, Zahlenbeispiel: \(R\sqrt{C/L}=10\).
17.5 RC-Brücke.
Abbildung 17.40 zeigt eine aus zwei gleichen Widerständen und zwei gleichen Kapazitäten aufgebaute Brückenschaltung. Wie groß ist das Verhältnis der Ausgangsspannung \(\check{U}_{2}-\check{U}_{1}\) zur Eingangsspannung, wenn der Innenwiderstand der Spannungsquelle Null ist und der Brücke am Ausgang kein Strom entnommen wird? Unter welcher Bedingung ist die Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannung um 90° phasenverschoben?
Brückenschaltung aus Kondensatoren und Widerständen
17.6 Messung einer Induktivität.
Abb. 17.41 zeigt eine Brückenschaltung, die aus zwei Widerständen, einer variablen Kapazität mit einem parallelgeschalteten variablen Widerstand und einer auszumessenden Induktivität besteht. In der Spule entstehen Ohmsche Verluste. Wie ermittelt man die Größe der Induktivität und den Verlustwiderstand? Nach welchem Kriterium ist die Frequenz der Eingangsspannung zu wählen, wenn man die Induktivität und den Verlustwiderstand mit ähnlichem relativen Fehler messen möchte und in welcher Richtung verschiebt sich die Frequenz, wenn man hauptsächlich auf die Bestimmung der Induktivität Wert legt? Zahlenbeispiel: \(R_{1}=200\,\Upomega\), \(R_{2}=500\,\Upomega\), C = 10 pF und \(R_{C}=1\) M\(\Upomega\).
Brückenschaltung aus Widerständen, einem Kondensator und einer Induktivität
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Heintze, J. (2016). Wechselstrom. In: Bock, P. (eds) Lehrbuch zur Experimentalphysik Band 3: Elektrizität und Magnetismus. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48451-7_17
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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