Schaltvorgänge und elektromagnetische Feldenergie

Zusammenfassung

Bei den in Abschn. 15.1 beschriebenen Grundversuchen zum Induktionsgesetz wurde in einem Stromkreis, der eine Gleichspannungsquelle und eine Spule enthielt, ein Schalter betätigt. Wir wollen nun in Abschn. 16.1 untersuchen, wodurch beim Schließen und beim Öffnen des Schalters der Zeitverlauf des Strom gegeben ist. Wir werden sehen, dass nach dem Schließen der Stromfluss erst allmählich in Gang kommt, mit einer Zeitkonstanten, die durch die Induktivität und den Ohmschen Widerstand des Schaltkreises gegeben ist, während es beim plötzlichen Öffnen zu einem Funkenüberschlag am Schalter kommen muss.

In Abschn. 16.2 stellen wir die entsprechenden Untersuchungen bei einem Stromkreis an, der statt der Spule einen Kondensator enthält. Hierbei werden wir auf einige Gesichtspunkte stoßen, die für die Signalübertragung in elektronischen Schaltungen wichtig sind. Im dritten Abschnitt wird schließlich die Energiebilanz der Schaltvorgänge untersucht. Wir werden sehen, dass ein Teil der Energie zum Aufbau des Magnetfelds in der Spule bzw. zum Aufbau des elektrischen Feldes im Kondensator verwendet wird. Daraus lassen sich Formeln für die Energiedichte der Felder ableiten. Wir bestätigen das frühere Resultat (5.8) für elektrische Felder, erhalten nun aber auch den entsprechenden Ausdruck für die Energiedichte eines Magnetfeldes. Am Schluss kommen wir noch zu einigen interessanten Anwendungen der Formeln für die magnetische Feldenergie. Unter Anderem wird man erfahren, warum sich ein Elektromotor dreht und wie groß die Tragkraft eines Magneten ist.

Aufgaben

16.1 Magnetfeld im Inneren eines Drahtes.

Beweisen Sie Gl. (16.40).

16.2 Signalübertragung: Innenwiderstand und Eingangskapazität.

a) In das RC-Glied von Abb. 16.8 werden Rechtecksignale mit der Höhe U ₀ und der Dauer T = 50 ns eingespeist. Es es sei $R=10\,\mathrm{k}\Upomega$ und C = 1 nF. Wie groß ist die Linienverschiebung in Einheiten der mittleren Signalhöhe entsprechend Abb. 16.10, wenn 20 000 Signale pro Sekunde registriert werden?

b) Unmittelbar nach dem Ende eines Signals folge, gerade noch nicht überlappend, ein weiteres Signal gleicher Höhe. Um wieviel wird dessen Höhe über der Nulllinie reduziert?

c) In elektronischen Schaltungen wie in Abb. 16.8a besitzt die Spannungsquelle immer einen Innenwiderstand $R_{\text{i}}$ und jegliches Gerät zur Verarbeitung der Spannung U ₂ besitzt eine Eingangskapazität C ₂ parallel zum Widerstand R. Welchen Einfluss hat ein Innenwiderstand $R_{\text{i}}=50\,\Upomega$ auf das Signal U ₂? Wie beeinflusst eine Kapazität $C_{2}=10$ pF die Signalform?

16.3 Ladungsausgleich zwischen Kondensatoren.

Von zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten C ₁ und C ₂ werde einer auf eine Spannung U ₁ aufgeladen und danach von der Spannungsquelle abgetrennt. Dann werden beide Kondensatoren über einen Widerstand R parallel geschaltet, sodass ein Ladungsausgleich stattfindet.

a) Wie groß sind am Ende des Vorgangs die Ladungen auf den Kondensatoren, die Spannung und die gesamte gespeicherte elektrische Energie?

b) Man zeige durch Berechnung der Joule’schen Wärme, dass die verlorengegangene elektrische Energie im Widerstand „verheizt“ wurde.

c) Wie ist das zeitliche Verhalten des Ausgleichsvorgangs?

16.4 Hystereseverluste.

Wie in Abb. 16.14 gezeigt wurde, entsteht in periodisch magnetisiertem Eisen bei jedem Durchlauf der Hystereseschleife ein Hystereseverlust. Man kann ihn abschätzen, indem man die Hystereseschleife durch zwei horizontale und zwei geneigte Geraden ersetzt. Wie groß darf die Koerzitivkraft $H_{\text{c}}$ (Abb. Abb. 14.19) höchstens sein, wenn man für $B_{\text{max}}=1{,}8$ T und Wechselstrom der Frequenz $\nu=50$ Hz die Verlustleistung auf 3 W pro kg Material begrenzen will (Dichte $\rho=7{,}8$ g$/$cm${}^{-3})$?

16.5 Haftmagnet.

Es sind „schwarze Bretter“ in Gebrauch, an denen Mitteilungszettel mit Hilfe kleiner Permanentmagnete an einer Eisenunterlage befestigt sind. Der Magnet sei eine Scheibe mit der Dicke d = 2 mm und der Dichte $\rho=7{,}8$ g$/$cm${}^{3}$. Wenn die Feldstärke B an seiner Oberfläche zu klein ist, wird der Magnet an der senkrecht stehenden Unterlage herunterrutschen. Der wirksame Haftreibungskoeffizient sei $\mu_{\text{H}}=0{,}5$.³ Wie groß muss B mindestens sein, damit der Magnet haftet? Wie groß muss B mindestens sein, wenn die zu haltende Last die achtfache Masse des Magneten hat, der Haftreibungskoeffizient nur $\mu_{\text{H}}=0{,}2$ ist und der Abstand zwischen Magnet und Unterlage weiterhin klein gegen d ist? Zahlenbeispiel: Wie groß sind die Massen bei einem Magnetradius r = 1 cm?