Zeitlich veränderliche Felder

Zusammenfassung

Bei zeitlich veränderlichen Feldern werden neue Phänomene beobachtet, die weit über das Gebiet der stationären elektrischen und magnetischen Felder hinausführen. Wir untersuchen zunächst die elektromagnetische Induktion: Wird eine Leiterschleife von einem zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss durchsetzt, so wird in der Leiterschleife eine Spannung induziert. Daraus folgt: Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld $\vec{B}$ erzeugt ein $\vec{E}$-Feld mit in sich geschlossenen Feldlinien, also ein Feld, das in der Elektrostatik ausdrücklich verboten ist. Dies führt uns im zweiten Abschnitt auf die Selbstinduktion und die Gegeninduktion, Phänomenen, die in der Elektrotechnik eine große Rolle spielen. – Das Faradaysche Induktionsgesetz findet zahlreiche Anwendungen, von denen wir einige in Abschn. 15.5 besprechen. Besonders hervorzuheben ist seine Bedeutung für die Funktion der elektrischen Maschinen, also für den Generator (Dynamo) und für den Elektromotor. Auch befassen wir uns mit Wirbelströmen und mit den interessanten Phänomenen, die durch Wirbelströme ausgelöst werden. Wir stoßen dabei auf die magnetische Reynolds-Zahl.

Im vierten Abschnitt dringen wir zu den Maxwellschen Gleichungen vor, die den krönenden Abschluss der klassischen Elektrodynamik bilden. Sie enthalten die uns bereits bekannten, aus dem Experiment abgeleiteten Grundgesetze der Elektrizität und des Magnetismus, aber zusätzlich noch den von Maxwell eingeführten Verschiebungsstrom. Er ermöglicht die Existenz von elektromagnetischen Wellen und führt zur Verschmelzung von Elektrodynamik und Optik.

Aufgaben

15.1 Parallel- und Serienschaltung von Induktivitäten.

Man beweise mit dem Induktionsgesetz die Gleichungen (15.21) und (15.22). Wie ändert sich (15.21), wenn eine Gegeninduktivität L ₁₂ vorhanden ist?

15.2 Induktivitäten eines Koaxialkabels, eines Drahtpaars und einer Streifenleitung.

Man beweise durch Berechnung der magnetischen Flüsse die Gleichungen (15.18) bis (15.20), wobei die magnetischen Flüsse innerhalb der Leiter vernachlässigt werden sollen.

15.3 Wirbelstromverluste in einem Ringmagneten.

a) In einem Ringmagneten nach Abb. Abb. 14.4 bestehe der „Eisenkern“ aus einem Draht mit dem Radius $r_{\text{K}}$. Ein in der Spule fließender niederfrequenter Wechselstrom erzeugt eine homogene magnetische Feldstärke $B=B_{0}\sin\,\omega t$. Diese induziert im Kern eine Ringspannung $U(r)$, die von der Drahtmitte nach außen zunimmt. Wie groß ist $U(r)$? Wegen der elektrischen Leitfähigkeit σ entsteht eine Stromdichte $j(r)$ und eine Ohmsche Verlustleistung pro Volumen $P(r)/V$. Wie groß ist sie und wie groß ist ihr Mittelwert über den Drahtquerschnitt? Das Material habe die Dichte $\rho_{m}$. Wie groß ist die Verlustleistung pro kg Material? Zahlenbeispiel: $B_{0}=1$ T, $r_{\text{K}}=0{,}4$ mm, $\omega/2\pi=50$ Hz, $\sigma_{\text{el}}=1{,}1\cdot 10^{7}\,(\Upomega\,\mathrm{m})^{-1}$ und $\rho_{m}=7{,}8\,\mathrm{g/cm}^{3}$.

b) Oben wurde ein homogenes Magnetfeld vorgegeben. Man muss nachträglich prüfen, ob der Wirbelstrom das Magnetfeld merklich verändert. Wie groß ist der gesamte im Kern zirkulierende Strom pro Drahtlänge? Wie groß ist die Magnetfeldamplitude H _W , die er in der Drahtmitte erzeugt (Magnetfeld im Inneren einer „Spule“) und wie groß ist $\mu\mu_{0}H_{W}$? Zahlenbeispiel: $\mu=1000$.

c) Ändert sich an der Größenordnung der Verlustleistung pro Masse etwas, wenn der Spulenkern statt aus einem Draht aus einer breiten Lamelle mit der Dicke $2r_{\text{K}}$ besteht?

15.4 Gegeninduktivität.

a) In der Mitte eines langen Solenoids mit der Länge l und N Windungen befindet sich eine kreisförmige Drahtschleife mit dem Radius r _i , deren Zuführungsdrähte bifilar nach außen geführt sind. Wie groß ist die Gegeninduktivität dieser Anordnung? In der Stromschleife fließe ein Strom $I_{i}=I_{0}\sin\,\omega t$. Wie groß ist die Induktionsspannung an den Enden des Solenoids? Zahlenbeispiel: $I_{0}=1$ A, $\omega=300$ s${}^{-1}$, N = 100, l = 10 cm und $r_{i}=0{,}7$ cm.

b) Die Spule und der Ring seien wie in Abb. Abb. 14.22 auf einen Eisenkern mit Luftspalt gewickelt und es gelte (14.54) (Luftspalt mit $\mu d_{\text{L}}\gg d_{\text{E}}$). Wie groß ist die Gegeninduktivität? Wie lässt sie sich durch die beiden SelbstInduktivitäten ausdrücken und warum ist die Gegeninduktivität im Fall a) viel kleiner, als diese Gleichung vorhersagt? Zahlenbeispiel wie oben, aber mit $d_{\text{L}}=0{,}5$ cm an Stelle von l.

15.5 Induktive Bremsung.

Zwischen die quadratischen Pole eines Elektromagneten, dessen Magnetfeld parallel zur Erdoberfläche ausgerichtet ist, wird hochkant eine rechteckige Leiterschleife geschoben. Deren Oberseite wird zwischen die Polschuhe gebracht, während die Unterseite aus dem Magneten herausragt. Lässt man die Leiterschleife zur Zeit t = 0 los, wird sie herunterfallen, wobei sie eine Endgeschwindigkeit $v_{\text{E}}$ erreicht.

a) Wie groß ist $v_{\text{E}}$, wenn man folgende Daten zugrunde legt: B = 1 T, Breite und Höhe der Leiterschleife b = 5 cm, h = 10 cm, Dichte $\rho_{m}=8$ g$/$cm${}^{3}$, spezifischer Widerstand des Leitermaterials $\rho_{\text{el}}=2\cdot 10^{-8}\,\Upomega/\mathrm{m}$?

b) Die Endgeschwindigkeit wird mit einer gewissen Zeitkonstanten τ erreicht. Ist τ zu groß, erreicht die Schleife $v_{\text{E}}$ nicht, solange sie sich zwischen den Polschuhen befindet. Wie groß ist τ und wird $v_{\text{E}}$ erreicht?

c) Der Strom in der Schleife verändert das Magnetfeld. Falls sich das Feld verformt wie in Abb. 15.21c gezeigt, sind obige Rechnungen falsch. Verifizieren Sie durch Abschätzung der magnetischen Reynoldszahl, dass dies nicht so ist.

15.6 Verschiebungsstrom.

Das Dielektrikum in einem kreisförmigen Plattenkondensator sei elektrisch leitend (spezifischer Widerstand $=\rho_{\text{el}})$. Im Kondensator herrsche ein periodisches elektrisches Feld $E=E_{0}\sin\,\omega t$. Um die Symmetrieachse des Kondensators gibt es ein ringförmiges Magnetfeld. Welcher Anteil dieses Feldes rührt von dem Leitungsstrom im Dielektrikum und welcher Anteil von dem Verschiebungsstrom und dem Polarisationsstrom $I_{\mathrm{p}}$ her? Zahlenbeispiel: $\omega=10^{9}$ s${}^{-1}$, $\epsilon=2$, $\rho_{\text{el}}=1\,\Upomega$ m.