Zusammenfassung
Nachdem in den beiden vorigen Kapiteln die grundsätzlichen Eigenschaften des magnetischen Feldes diskutiert wurden, befassen wir uns nun mit der Frage, wie man das Magnetfeld einer vorgegebenen Verteilung stationärer Ströme berechnen kann. Das führt uns zum Biot–Savartschen Gesetz. Damit wird das Magnetfeld einer kreisförmigen Stromschleife untersucht. Für Abstände, die groß gegen die Abmessungen der Stromschleife sind, entspricht dieses Feld genau dem elektrischen Feld in der Fernzone eines elektrischen Dipols. Die Stromschleife ist der Prototyp des magnetischen Dipols.
Im dritten Abschnitt wird das sogenannte Vektorpotential eingeführt. Es erscheint hier nur als Hilfsgröße zur Feldberechnung, deren Handhabung nicht einmal besonders einfach ist. Bei tieferem Eindringen in die Physik gewinnt es aber an Bedeutung: Wir zeigen, dass es die de Broglie-Wellenlänge von Teilchen beeinflusst. Am Schluss des Kapitels diskutieren wir einige Anwendungen: die Methoden zur Erzeugung homogener Magnetfelder, Messung des Impulses geladener Teilchen, Fokussierung von Teilchenstrahlen und schließlich die Anwendung von Magnetfeldern in der Beschleunigertechnik und in der Massenspektrometrie.
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Notes
- 1.
Zu den Kraftwirkungen gehören neben der Gesamtkraft auch das Drehmoment oder Kräfte, die versuchen, die Leiterschleife C zu deformieren.
- 2.
Aus diesem Grund ist die Formulierung von (13.4) bis (13.6 ) nicht eindeutig; man kann beliebig Terme hinzufügen, die nach Integration über alle \({{\mathrm{d}}}\vec{s}\) und \({{\mathrm{d}}}\vec{s}^{\prime}\) Null ergeben. – Die Formulierung des damals so genannten „elektrodynamischen Grundgesetzes“ war im 19. Jahrhundert ein heiß diskutiertes Thema. Allerdings sprach man nicht vom Magnetfeld, sondern von der Kraft zwischen zwei Strömen. Die erste allgemein gültige Formel, abgeleitet aus mit großer Sorgfalt durchgeführten Experimenten, stammt von Ampère. Zuvor hatte Laplace eine Formel aufgestellt, die er als „Biot–Savartsches Gesetz“ bezeichnete (daher der heute gebräuchliche Name für (13.4 )), die jedoch nur bei geradlinigen Leitern anwendbar war. Biot und Savart waren die Ersten, die im Anschluss an Ørsteds Entdeckung die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern nachgewiesen und quantitativ untersucht hatten. Die in (13.5 ) gegebene Formulierung stammt von Grassmann. – Herrmann Günther Grassmann (1809–1877), Mathematiker, Physiker und Philologe, war Gymnasiallehrer in seiner Vaterstadt Stettin. Als Mathematiker schuf er unter anderem die Grundlagen der Vektor- und Tensorrechnung, als Philologe leistete er wichtige Beiträge zur Erforschung des Sanskrit. – Die Formel (13.5) stellte Grassmann zunächst noch ohne Vektoren auf, also nur mit x, y und zrechnend. Diese Arbeit hat ihn vermutlich bei der Erfindung der Vektorrechnung inspiriert.
- 3.
In der Umkehrung ist die Beweisführung zu (13.18) und (13.19) einfach: Aus \(\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}\) folgt, dass \(\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})=0\) ist, und ebenso folgt aus \(\vec{E}=-\mathrm{grad}\,\phi\) ohne weiteres \(\vec{\nabla}\times\vec{E}=\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\phi=0\) (Bd. I, (21.157) und (21.158)). Damit sind aber (13.18) und (13.19) noch nicht bewiesen!
- 4.
Man nennt die Transformation (13.20) eine Eichtransformation. Das Magnetfeld \(\vec{B}\) ist nach (13.21) unter einer Eichtransformation invariant. In anderen Zusammenhängen werden in der Elektrodynamik auch andere als die Coulomb-Eichung verwendet. – Zum Beweis von (13.22) siehe J. D. Jackson, Classical Electrodynamics.
- 5.
Das hier beschriebene Experiment hat eine interessante Vorgeschichte. Zunächst: Wie kommt (13.37 ) zustande? Die Quantenmechanik wurde 1925/26 auf der Grundlage der von Lagrange (1736–1813) und Hamilton (1805–1865) geschaffenen analytischen Mechanik aufgebaut. In dieser Theorie gibt es einen verallgemeinerten Impuls-Begriff, den kanonischen Impuls. Bei Bewegung eines Teilchens in einem Magnetfeld ist auch in der klassischen Physik der kanonische Impuls \(\vec{p}=m\vec{v}+q\vec{A}\) (siehe z. B. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics). Die Formel (13.37 ) ist daher für den Theoretiker das Natürlichste von der Welt. Auch den Physikern, die sich mit Elektronenoptik beschäftigen, war die phasenschiebende Wirkung von \(\vec{A}\) wohlvertraut. Schon 1933 gab es eine Formel für den „elektromagnetischen Brechungsindex“, in der das Vektorpotential \(\vec{A}\), und nicht das Feld \(\vec{B}\) vorkommt. Auf die Tatsache, dass \(\vec{A}\) auch in Raumgebieten wirksam werden muss, in denen \(\vec{B}=0\) ist, wiesen 1949 W. Ehrenberg und R. E. Siday hin (Proc. Phys. Soc. 62B, 8 (1949)). Sie schlugen vor, zum Nachweis dieses Effekts einen Elektronenstrahl in zwei Teilstrahlen aufzuteilen, die rechts und links an einer langen Spule vorbeigeführt und dann zur Interferenz gebracht werden. Es dauerte 10 Jahre, bis sich die Elektronenoptik soweit entwickelt hatte, dass Möllenstedt, Physik-Professor in Tübingen und ausgewiesener Fachmann für Elektronenmikroskopie, an die Ausführung dieses extrem schwierigen Experiments gehen konnte. Voraussetzungen waren perfekte Elektronenoptik, Herstellung der Mikrospule, Justierung der Spule und der Potentialdrähte, Beseitigung elektromagnetischer Störungen, Vibrationsfreiheit, … Währenddessen wurde das Problem durch eine Veröffentlichung von Y. Aharonov und D. Bohm in der vielgelesenen Zeitschrift Physical Review (Phys. Rev. 115, 485 (1959)) einem größeren Kreis von Physikern bewusst gemacht. Es entstand eine kontroverse Diskussion, da sich viele Physiker nicht von der Vorstellung trennen mochten, dass \(\vec{A}\) eine „reine Rechengröße“ sei. Die Beeinflussung von Materiewellen durch das Vektorpotential bei \(\vec{B}=0\) wird seitdem „Aharonov–Bohm-Effekt“ genannt. Möllenstedt veröffentlichte seine schöne Arbeit nur als kurze Notiz (Naturwissenschaften 49, 81 (1962)). Einen ausführlichen Bericht findet man in den Physikalischen Blättern 18, 299 (1962).
- 6.
Die mit flüssigem Wasserstoff gefüllte Blasenkammer (Bd. II/10.1) befindet sich in einem homogenen Magnetfeld. Ein \(\mathrm{K}^{-}\)-Meson tritt, auf dem Bild von unten kommend, in die Blasenkammer ein, verliert durch Ionisation seine kinetische Energie und wird von einem Proton eingefangen. Es erfolgt die Reaktion \(\mathrm{K}^{-}+\mathrm{p}\rightarrow\Upsigma^{-}+\pi^{+}\). Auch das \(\Upsigma^{-}\)-Hyperon kommt zur Ruhe und reagiert mit einem Proton: \(\Upsigma^{-}+\mathrm{p}\rightarrow\Upsigma^{0}+\mathrm{n}\). Das Neutron wird an einem Proton gestreut (\(\mathrm{n}+\mathrm{p}\rightarrow\mathrm{n}+\mathrm{p}\)); mit der kurzen Protonenspur am unteren Bildrand können Energie und Richtung des Neutrons bestimmt werden. Das äußerst kurzlebige \(\Upsigma^{0}\)-Hyperon zerfällt ohne sichtbare Flugstrecke: \(\Upsigma^{0}\rightarrow\Uplambda^{0}+\mathrm{e}^{+}+\mathrm{e}^{-}\). Man sieht das Elektron- Positron-Paar und den Zerfall des \(\Uplambda^{0}\)-Hyperons \(\Uplambda^{0}\rightarrow\mathrm{p}+\pi^{-}\) nach einigen cm Flugstrecke. Die Massen aller an den Reaktionen beteiligten Teilchen können durch Vermessung der Spuren bestimmt werden, wodurch der hier beschriebene Reaktionsablauf gesichert wird.
- 7.
Siehe z. B. H. Daniel, Beschleuniger, Teubner (1974); K. Wille, The Physics of Particle accelerators, Oxford University Press (2000).
- 8.
Dieses Problem wurde mit der Erfindung des Klystrons (Abschn. 17.3) durch die Brüder Varian in den USA gelöst. In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts haben daher Linearbeschleuniger auch für hohe Energien an Bedeutung gewonnen. Ein Beispiel aus neuester Zeit findet man bei Abb. Abb. 17.32.
- 9.
Eine Lösung des Problems ist, bei homogenem Magnetfeld die Frequenz periodisch anwachsen zu lassen (Synchrozyklotron). Dann erhält man aber nur noch am Ende eines jeden Beschleunigungszyklus für kurze Zeit einen Teilchenstrahl. Zur Erreichung starker Ströme verwendet man daher ein anderes Prinzip: Wie (13.51 ) zeigt, kann man auch bei höheren Energien eine konstante Umlaufsfrequenz erzwingen, indem man das Magnetfeld nach außen hin anwachsen lässt (Isochronzyklotron). Damit die Stabilität des Strahls nicht verloren geht, muss dann eine komplizierte Strukturierung der Polschuhe vorgenommen werden: Teuer, aber realisiert.
- 10.
Bei der Verdunstung und bei der Kondensation des Wassers treten Isotopentrenneffekte auf, die in bekannter Weise von der Temperatur abhängen. Aus den Isotopenverhältnissen bei Eisbohrkernen aus Grönland oder aus der Antarktis auf die Temperaturen vergangener Epochen zu schließen, erfordert ein gutes Stück Detektivarbeit. Bei den Sedimenten ist der Zusammenhang zwischen Isotopenhäufigkeit und Temperatur leichter auszuwerten: Auch bei der Bildung von Muschelkalk treten Isotopentrenneffekte auf. Das Sediment enthält eine Mischung von Muscheltierchen, von solchen, die an der Oberfläche des Ozeans lebten, und von biologisch ähnlichen Tiefsee-Organismen. Die Sedimente können datiert und die beiden Spezies auseinander sortiert werden. Aus der Messung der Isotopenhäufigkeiten bekommt man dann die Temperaturdifferenz zwischen der Meeresoberfläche und der Tiefsee. Man nimmt an, dass die Tiefsee-Temperatur im Wesentlichen konstant bleibt, und erhält so die Oberflächentemperatur. Sie variiert ähnlich wie nach den Untersuchungen an Eisbohrkernen.
- 11.
Dass die Wechsel zwischen Eis- und Warmzeiten etwas mit Schwankungen der Sonneneinstrahlung zu tun haben könnten, wurde schon lange vermutet. Milutin Milanković (1879–1958, Mathematik-Professor in Belgrad) war der erste, der dies unter Einschluss der Präzession der Erdachse und der Erdbahn, der Bahnstörungen durch andere Planeten und unter Berücksichtigung eines Klimamodells berechnet hat. Er kam zu dem Schluss, dass die Abfolge der Eiszeiten in der Tat mit Schwankungen der Sonneneinstrahlung korreliert ist, und dass es dabei besonders auf die Einstrahlung bei 65° N ankommt. Die von Milanković (mit Papier und Bleistift!) berechnete Kurve sieht sehr ähnlich aus wie die neuere Rechnung in Bild (a). Seine Theorie war lange Zeit sehr umstritten; heute gilt sie als gut bestätigt.
- 12.
Wegen der abschirmenden Wirkung der positiven Ionen in der Gasentladung gelang die Ablenkung der Kathodenstrahlen in elektrischen Feldern zunächst nicht. H. Hertz hielt sie deshalb für „longitudinale Ätherwellen“, ein Gegenstück zu den elektromagnetischen Wellen, die er entdeckt hatte, und die damals als „transversale Ätherwellen“ betrachtet wurden. Die erste \(q/m\)-Bestimmung an Kathodenstrahlen unternahm A. Schuster in Manchester. E. Wiechert in Königsberg, der ähnliche Experimente anstellte, sprach als erster klar aus, dass Kathodenstrahlen aus Teilchen bestehen, die tausendfach leichter sind, als die leichtesten Ionen, und J. J. Thomson in Cambridge führte die umfassendsten Untersuchungen aus. Gewöhnlich wird Thomson als der Entdecker des Elektrons bezeichnet.
- 13.
S. Rainville, J. K. Thompson, D. E. Pritchard, Science 303, 334 (2004)
- 14.
Siehe z. B. W. Ketterle, Bose-Einstein-Kondensate – eine neue Form von Quantenmaterie, Physikalische Blätter 53, 677 (1997).
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Aufgaben
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13.1 Magnetisches Moment rotierender geladener Körper.
Wie groß sind die magnetischen Momente einer gleichförmig geladenen rotierenden Kreisscheibe und einer gleichförmig geladenen rotierenden Kugel? Sind aus der Mechanik exakte Analogien zu den auftretenden Integralen bekannt, die man zur Lösung heranziehen kann?
13.2 Die Stromschleife als Grenzfall einer beliebigen Stromverteilung.
Zeigen Sie, dass Gl. (13.10) für das magnetische Moment einer Stromschleife als Spezialfall in der allgemeinen Gl. (13.13) enthalten ist.
13.3 Helmholtz-Spulen.
a) Warum erhält man im Helmholtzschen Spulenpaar (Abb. 13.14d) die beste Homogenität des Magnetfeldes am Zentrum, wenn der Spulenradius R gleich dem Spulenabstand d ist?
b) Vergleichen Sie das Magnetfeld in den beiden Spulenmitten mit der Reihenentwicklung (13.43).
13.4 Kraft zwischen Stromleitern.
a) Zeigen Sie: Berechnet man mit (13.6) die Gesamtkraft auf eine geschlossene Leiterschleife C, hebt sich der linke Teil des Integranden unter der eckigen Klammer weg und die Kraft ist durch
gegeben. Hinweis: Man setze das verschwindende Doppelintegral in Beziehung zum Coulomb-Potential.
b) Eine quadratische Leiterschleife der Seitenlänge a sei parallel zu einem unendlich langen geraden Draht orientiert. Der Draht und die Leiterschleife liegen in einer Ebene. Der Abstand zwischen dem Draht und der nächstgelegenen Quadratseite sei d. Welche Gesamtkraft und welches Drehmoment übt der Draht auf die Leiterschleife aus, wenn die Ströme I d und I q fließen?
c) Die Leiterschleife sei senkrecht zum Draht orientiert. Den kürzesten Abstand d vom Draht hat eine Seitenmitte. Wie groß ist die Gesamtkraft auf die Schleife? Wie groß ist das Drehmoment im Grenzfall \(d\gg a\) ?
13.5 Zyklotron- und Magnetronfrequenz.
Ein geladenes Teilchen bewege sich in einer Penningfalle auf einer Kreisbahn senkrecht zum Magnetfeld um das Zentrum der Falle. Man zeige: Die Überlagerung der Kräfte durch das Magnetfeld und das elektrische Quadrupolfeld (13.54) führt dazu, dass die Bahn nur mit der Zyklotron- oder der Magnetronfrequenz durchlaufen werden kann. Solange die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung vom Fallenzentrum ist, lässt sich mit der gewonnen Erkenntnis die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung in Worten formulieren und deuten.
13.6 Winkelfokussierung eines magnetischen 180°-Massenspektrographen.
In Abb. 13.23b sind neben der mittleren Kreisbahn eines Ions mit dem Radius r auch noch zwei um einen Winkel \(\Updelta\alpha\) gekippte Bahnen eingezeichnet. Wo liegt der Krümmungsmittelpunkt der am Anfang nach nach links geneigten Bahn? An welcher Stelle trifft diese Bahn auf die Austrittsebene des Spektrographen und wie weit ist dieser Punkt vom Austrittspunkt der mittleren Bahn entfernt? Um den gleichen Abstand versetzt werden auch Ionen mit etwas anderem Impuls auf ihrer mittleren Bahn eintreffen. Das begrenzt die Massenauflösung, wenn alle Ionen mit der gleichen elektrischen Spannung vorbeschleunigt werden. Wie hängt die Massenauflösung von \(\Updelta\alpha\) ab? Zahlenbeispiel: \(\Updelta\alpha=0{,}03\). Was macht eine Winkelkippung senkrecht zur Zeichenebene in Abb. 13.23b aus?
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Heintze, J. (2016). Berechnung und Anwendung stationärer Magnetfelder. In: Bock, P. (eds) Lehrbuch zur Experimentalphysik Band 3: Elektrizität und Magnetismus. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48451-7_13
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