Lorentz-Transformation der Feldgrößen und das elektromagnetische Feld

Zusammenfassung

Im vorigen Kapitel haben wir das Magnetfeld $\vec{B}$ eingeführt und die Grundgleichungen der stationären magnetischen Felder aufgestellt. In (11.61)–(11.67) sind sie zusammen mit den Grundgleichungen des elektrostatischen Feldes angegeben. Wenn in der Physik das zuerst von Galilei formulierte, dann von Einstein präzisierte Relativitätsprinzip uneingeschränkt gelten soll (vgl. Bd. I/2.5 und Bd. I/13), müssen diese und alle daraus abgeleiteten Gleichungen in jedem Inertialsystem gültig sein. Ebenso muss die Formel für die auf eine Ladung wirkende Kraft, $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$, in jedem Inertialsystem gelten. In diesem Kapitel wird untersucht, was das für Konsequenzen hat. Zunächst wird gezeigt, dass die elektrische Ladung immer den selben Wert q hat, unabhängig vom Bewegungszustand des Teilchens, das diese Ladung trägt. Daher muss die Ladung beim Übergang von einem „ruhenden“ in ein „bewegtes“ Inertialsystem nicht transformiert werden. Dagegen ist es notwendig, bei einer Lorentz-Transformation der Raum-Zeit-Koordinaten auch die Felder $\vec{E}(\vec{r},t)$ und $\vec{B}(\vec{r},t)$ zu transformieren. Wir müssen also die Lorentz-Transformation für die elektrischen und die magnetischen Feldgrößen finden, die bewirkt, dass im „ruhenden“ und im „bewegten“ Koordinatensystem die Grundgleichungen der Elektrizität und des Magnetismus unverändert gelten. Bei der Lösung dieser Aufgabe zeigt sich, dass aufgrund des Relativitätsprinzips elektrische und magnetische Phänomene zwangsläufig miteinander verknüpft sein müssen. Die Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$ sind nur Teilaspekte eines übergeordneten Begriffs: Des magnetischen Feldes.

Aufgaben

12.1 Elektrisches Feld auf der Oberfläche einer bewegten Kugel.

a) Eine elektrische Ladung Q sei gleichmäßig über eine Kugel mit dem Radius R verteilt. Die Kugel werde beschleunigt, bis sie eine große Geschwindigkeit v in x-Richtung erreicht hat. Wie groß sind die elektrischen Feldstärken an den Oberflächenpunkten (Momentaufnahme)?

b) Der Gaußsche Satz muss auch für die fliegende Kugel erfüllt sein. Zeigen Sie: Das Flächenintegral der elektrischen Feldstärke über eine beliebige geschlossene Oberfläche, die die Ladung Q enthält, ist Lorentz-invariant, wenn die Ladung Q invariant ist. (Hinweis: Zerlegen Sie ein Flächenelement ${{\mathrm{d}}}\vec{A}$ und die Feldstärke jeweils in drei Kartesische Komponenten).

12.2 Elektrisches Feld eines Teilchenstrahls.

Ein sehr dünner bleistiftförmiger Pulk von $N=10^{12}$ Elektronen, der eine Länge $s=0{,}3$ m besitzt, bewegt sich mit der Geschwindigkeit v in Längsrichtung. Wie groß ist die maximale transversale elektrische Feldstärke im seitlichen Abstand b = 2 cm vom Pulk?

Hinweis: Man benötigt das unbestimmte Integral

$$\int{\frac{{{\mathrm{d}}}\xi}{\left(a^{2}+\xi^{2}\right)^{3/2}}}=\frac{\xi}{a^{2}\sqrt{a^{2}+\xi^{2}}}\;.$$

12.3 Zykloidenbahn eines Teilchens in gekreuzten Feldern.

Ein geladenes Teilchen bewege sich in der $(x^{\prime},z^{\prime})$-Ebene in einem homogenen Magnetfeld $B_{y}^{\prime}$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius r.

a) Man begründe: In einem Koordinatensystem, das sich mit der Geschwindigkeit $-v_{w}$ in $x^{\prime}$-Richtung bewegt, ist die Bahn eine Zykloidenbahn, die aus der Überlagerung einer linearen Bewegung und der Bewegung auf einer Ellipse besteht.

b) In diesem ungestrichenen Koordinatensystem kann man das Magnetfeld $B_{y}^{\prime}$ durch gekreuzte Felder E _z und B _y ersetzen, die apparativ in diesem Koordinatensystem erzeugt werden und zur gleichen Bahn führen. Wie groß sind E _z und B _y und wie hängen sie mit v _w zusammen?

c) Unter welcher Bedingung ist die Zykloidenbahn eine einfache Zykloidenbahn, d. h. das Teilchen kommt im ungestrichenen Koordinatensystem in regelmäßigen Abständen zur Ruhe? Wie groß ist dann der halbe transversale Bahndurchmesser als Funktion der Feldstärke B _y und der Driftgeschwindigkeit v _w ? Zahlenbeispiel: Elektron, $B_{y}=0{,}01$ T, $E_{z}=100\,\mathrm{kV/m}$.

12.4 Lorentz-Invarianz der Bewegungsgleichung im elektromagnetischen Feld.

Um die Invarianz von Gl. (12.18) gegenüber Lorentz-Transformationen zu zeigen, muss man die Größen ${{\mathrm{d}}}\vec{p}/{{\mathrm{d}}}t$, $\vec{u}$, $\vec{E}$ und $\vec{B}$ durch die entsprechenden Größen in einem bewegten Koordinatensystem ausdrücken. Beweisen Sie (12.19) mit dem Formelsatz (12.20)–(12.22). (Es ist ratsam, dies zuerst für die y- oder z-Richtung nachzurechnen).