Analyse von Mehrkörpersystemen

Zusammenfassung

Die Dynamik eines Mehrkörpersystems wird in der allgemeinsten Form durch ein System Differential-Algebraischer Gleichungen vom Typ

$$\begin{aligned}\dot{y}&=K(y)\,z\\ M(y)\,\dot{z}&=q^{e}(y,z)+J_{g}^{T}\lambda\quad\text{mit}\quad J_{g}=\frac{\partial g(y)}{\partial y}\,K(y)\\ 0&=g(y)\end{aligned}$$

(5.1)

beschrieben. Können alle Zwangskräfte eliminiert werden, dann verschwinden die Lagrange‐Multiplikatoren $\lambda=0$ und, da die Bindungsgleichung $0=g$ entfällt, vereinfacht sich (5.1 ) zu einem System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Die im Lagevektor y zusammengefassten verallgemeinerten Koordinaten beschreiben in eindeutiger Weise die momentane Position und Orientierung aller im System vorhandenen Körper. Das Verschwinden der Lageänderung $\dot{y}=0$ kennzeichnet eine Gleichgewichtslage $y=y_{G}$ und $\lambda=\lambda_{G}$. In der Regel existiert die Inverse der Kinematik-Matrix K, dann hat $\dot{y}_{G}=0$ auch das Verschwinden der verallgemeinerten Geschwindigkeiten zur Folge, $z_{G}=0$. Das Differential-Algebraische System (5.1 ) reduziert sich dann auf zwei im Allgemeinen nichtlineare Gleichungen

$$\begin{aligned}0&=q^{e}(y_{G},0)+\left(\frac{\partial g(y)}{\partial y}\bigg|_{y_{G}}K(y_{G})\,\right)^{T}\lambda_{G}\\ 0&=g(y_{G})\end{aligned}$$

(5.2)

die mit dem Vektor $x_{G}^{T}=[y_{G}^{T},\,\lambda_{G}^{T}]$ als nichtlineares Gleichungssystem

$$0=f(x_{G})\quad\text{oder}\quad f(x_{G})=0$$

(5.3)

angeschrieben werden können. Die nichtlinearen Gleichungssysteme (5.2) oder (5.3 ) können auch mehrere Lösungen (Gleichgewichtslagen) besitzen. Auch instabile Gleichgewichtslagen sind möglich. Im Sinne von Ljapunov ist die Gleichgewichtslage stabil, wenn das System mit einer Störung δ aus der Ruhelage gestartet für alle Zeiten in einer durch ϵ begrenzten Umgebung bleibt .