Elementare Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Differenzialgleichungen stellen eine Beziehung her zwischen einer oder mehreren Funktionen und ihren Ableitungen. Da Ableitungen Veränderungen beschreiben, modellieren Differenzialgleichungen ganz allgemein das Veränderungsverhalten von Systemen.

Wir beschränken uns hier auf den einfachsten Fall einer skalaren Größe x, die nur von einer unabhängigen Variablen abhängt, der Zeit:

$t \mapsto x(t)$.

Eine Differenzialgleichung betrifft in diesem Fall die Größe x und endlich viele ihrer Ableitungen $\dot x , \ddot x , ..$ nach der Zeit t . Beschränken wir uns auch hier auf den einfachsten Fall, so haben wir es mit Differenzialgleichungen erster Ordnung zu tun, die nur $t , x , \dot x$ involvieren und daher von der allgemeinen Form

$F ( t , x , \dot x ) = 0$

sind. Am einfachsten sind solche Gleichungen in expliziter Form,

$\dot x = f ( t , x )$,

und nur solche wollen wir jetzt betrachten.