Asymmetrische Irrfahrten und Verwandtes

Zusammenfassung

In diesem Kapitel befreien wir uns von der in Kapitel 1 gemachten Voraussetzung, dass die Wegrichtungen einer Irrfahrt auf ℤ gleich wahrscheinlich seien, geben also die Symmetrieannahme auf. Zur Präzisierung sei X ₁, X ₂, ... eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit P(X _j = 1) := p, P(X _j = -1) = q := 1-p, wobei p ∈ (0, 1). Die Irrfahrt ist dann wie in Kapitel 1 durch S ₀ := 0 und S _n := X ₁ + ... + X _n , n ≥ 1, gegeben. Im Unterschied zu dort lassen wir ab jetzt zu, dass die Wahrscheinlichkeiten p bzw. q für einen Aufwärts- bzw. Abwärtsschritt verschieden sein können. In einem solchen Fall sprechen wir auch von einer asymmetrischen Irrfahrt. Wegen E(X _j ) = p - q = 2p - 1 folgt

$$ E(S_{n}) = \sum_{j=1}^{n} E(X_{j}) = n \cdot (2p - 1), $$

was zeigt, dass asymmetrische Irrfahrten einen gewissen Trend im Hinblick auf die Erwartungswerte der Höhen im zeitlichen Verlauf besitzen. Die Punkte (n, E(S _n )) mit n ≥ 0 liegen auf der diesen Trend beschreibenden Geraden x 7 → (2p - 1)x. Im Fall p > 1/2 besitzt diese Gerade eine positive Steigung, im Fall p < 1/2 ist die Steigung negativ. Bild 3.1 zeigt zwei Irrfahrten der Länge 2500, von denen die blau eingezeichnete symmetrisch ist. Die schwarz gekennzeichente Irrfahrt ist asymmetrisch, wobei p = 0.51 gewählt wurde. Zusätzlich ist die Trendgerade eingezeichnet.