Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung

Zusammenfassung

Als Wellengleichung ist die folgende partielle Differentialgleichung 2. Ordnung bekannt:

$$\Delta u = \frac{1} {{v^2 }}\,\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }},$$

(081.1)

in der u eine Funktion der Raumkoordinaten und der Zeit t, v eine reelle Konstante von der Dimension einer Geschwindigkeit ist. Hängt u nur von einer kartesischen Raumkoordinate, etwa z, ab (ebenes Problem), so lautet Gl. (081.1)

$$\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial z^2 }} = \frac{1} {{v^2 }}\,\,\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }}$$

(1)

und wird von jeder Funktion des Arguments z - vt oder z + vt erfüllt. An allen Punkten mit den Raum-Zeit-Koordinaten x, t für die z ⁽⁺⁾_- vt übereinstimmt, besitzt die Lösung f(z ⁽⁺⁾_- vt) denselben Wert. Es sind dies „Punkte gleicher Phase“ der durch die Funktion f repräsentierten Welle, die mit der Phasengeschwindigkeit v in ⁽⁺⁾_- Z-Richtung fortschreitet.