Zusammenfassung
Die Überlegungen der vier ersten Paragraphen bezogen sich im wesentlichen auf das Verhalten der Lösungen im Kleinen, d. h. in der genügend kleinen Umgebung einer Stelle. Es liegt aber im Wesen der analytischen Funktionen, daß das Verhalten im Kleinen den Gesamtverlauf der Funktion, das ist das Verhalten im Großen, bestimmt. Mindestens seit Riemann weiß man, daß der Schlüssel zum Großen beim Studium des Kleinen liegt. Wir lernten zweierlei Sorten von Singularitäten kennen. Wir nannten sie Singularitäten der Differentialgleichung und Singularitäten der Lösungen.
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Literatur
Japan. J. Math. Bd. 9 (1933). In dieser Arbeit gibt Yosida gewisse Verallgemeinerungen des Satzes von Malmquist, z. B. die folgende: Wenn in m eine natürliche Zahl ist und R (w, z) eine rationale Funktion bedeutet und wenn diese Differentialgleichung mindestens eine transcendente meromorphe Lösung besitzt, dann ist R (w, z) ein Polynom in w, dessen Grad mindestens 2 m beträgt.
Vgl. hierzu und im folgenden das in dieser Sammlung erschienene Werk: R. Nevanlinna: Eindeutige analytische Funktionen. Berlin 1936. Der Posten O (log ϱ) rührt von dem Kreis |z| = ϱ0 her. Die Darstellung in Nevanlinnas Buch bezieht sich auf die Kreisscheibe, das ist auf ϱ0 = 0. Daher steht dort rechts O (1) statt dem O (log ϱ) von (5.3.1). Dieser Unterschied ist auch der Grund, aus dem hier auf die Herleitung der benötigten Formeln eingegangen werden muß. Als Grundlage einer umfassenden Theorie der meromorphen Funktionen mit mehrfach zusammenhängendem Existenzgebiet hat die in Betracht kommenden Formeln Gunnar af Hällström entwickelt (Acta Ac. Aboensis, Math. et Phys. XII8, 1939).
H. Wittich hat Math. Ann. 124 (1954) einen weiteren ebenfalls auf der Nevanlinnaschen Theorie beruhenden Beweis dieses Satzes von Malmquist gegeben.
Man hat dazu u. a. Henrik Selbergs Theorie der algebroiden Funktionen heranzuziehen. Selbergs Gedankengängen habe ich mich auch bei der Herleitung von (5.3.34) angeschlossen. Vgl. H. Selberg: Algebroide Funktionen und Umkehrfunktionen Abelscher Integrale. Avhandlinger utgift av det Norske Vedenskaps-Akad. i Oslo, Math. Nat. Kl. 1934, No. 8.
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Bieberbach, L. (1965). Differentialgleichungen erster Ordnung im Großen. In: Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 66. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88466-5_5
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