Mehrstufige Spiele

Zusammenfassung

Wir betrachten ein Spiel, das aus sehr vielen Zügen besteht, und zwar ein so einfaches wie etwa das tic-tao-toe¹⁾. SpielerI hat dabei für seinen ersten Zug neun Möglichkeiten. Für jede der möglichen acht Erwiderungen durch II hat er sieben Möglichkeiten im zweiten Zug. Wie man sieht, hat Spieler I allein für die ersten beiden Züge 9·7⁸=51 883 209 reine Strategien zur Verfügung ohne Berücksichtigung von Symmetrien. Der Versuch, diese durchzunumerieren, ist natürlich sinnlos. Selbst unter Berücksichtigung von Symmetrien ist die Anzahl der reinen Strategien astronomisch. Dennoch ist das Spiel an sich vollkommen trivial (verglichen etwa mit Schach, das theoretisch trivial, aber in der praktischen Ausführung kompliziert ist). Die reinen Strategien lassen offenbar einiges zu wünschen übrig. Betrachten wir noch einmal die Definition der reinen Strategie: sie ist eine auf den Informationsmengen des Spielers definierte Funktion, die jeder Informationsmenge eine natürliche Zahl zwischen 1 und k zuordnet (k ist die Anzahl der Wahlmöglichkeiten bei gegebener Informationsmenge). Hat also ein Spieler N Informationsmengen und für jede k Wahlmöglichkeiten, so hat er insgesamt k^N reine Strategien (k^N ist möglicherweise sehr groß). Das oben erwähnte „tic-tao-toe“ wird also sicher von niemandem unter Berücksichtigung aller möglichen reinen Strategien gespielt (d.h. aller möglichen Zugfolgen vom ersten bis zum letzten Zug), sondern vielmehr so, daß der Spieler bei jedem Zug alle Wahlmöglichkeiten für diesen bedenkt und danach entscheidet (aus Erfahrung usw.), welcher der beste ist. In wesentlichen besteht die Vereinfachung also darin, daß eine Auswahl aus k₁,k₂,...,k_N möglichen Strategien ersetzt wird durch N Entscheidungen bei k_i möglichen Zügen jeder Informationsmenge. Das führt zu der folgenden Definition: