Zusammenfassung
Im Rahmen der Darstellung reellwertiger Fourierreihen wollen wir uns vorwiegend auf die Eigenschaften und auf das Verhalten von Fourierreihen konzentrieren. Anhand von grundlegenden Beispielen wird u.a. der Zusammenhang zwischen dem Konvergenzverhalten von Fourierreihen und den durch diese Reihen dargestellten Funktionen erarbeitet und verallgemeinert. Dieser Bezug wird später auch bei der Anwendung der diskreten Fouriertransformation von Bedeutung sein. Im ganzen geht es hier vorrangig um das Einüben im Umgang mit Fourierreihen. Als Vorbereitung für die Fouriertransformation periodischer Funktionen sowie für die Analyse und Bearbeitung von Signalen, z.B. von Bildsignalen, ist das Verständnis der Fourierreihen unentbehrlich.
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Notes
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716.
Schweizer Mathematiker, 1707—1783.
Im Gegensatz zu dieser Eigenschaft der Fourierreihen ist in Erinnerung zu rufen, daß Taylorreihen in einem Intervall, in dem sie konvergieren, immer stetige und beliebig oft differenzierbare Funktionen darstellen (vgl. Fichtenholz [13, Bd. II, S. 465]).
Um die 1-periodische Fortsetzung dieser und der weiteren Funktionen anzudeuten, wurde als Argumentbereich in den folgenden Abbildungen x € [—1,1] gewählt.
Josiah Willard Gibbs, amerikanischer Mathematiker, 1839—1903.
Ein allgemeiner Zusammenhang über die Stetigkeit der Ableitungen zu f(x) und das Konvergenzverhalten der Fourierkoeffizienten findet sich z.B. bei Mangoldt-Knopp [24, Bd. 3, S. 526].
Fourier (1822) Théorie analytique de la chaleur. Paris
Beispiel eines solchen optischen Signals ist etwa eine Schwarz-Weiß-Photographie. Zu jedem Koordinatenpaar (x y) gibt hierbei der Punktionswert v = g(x,y) den „Grauwert“ des Punktes P(x y) wieder. Die Skalierung der Grauwerte ist willkürlich und läßt sich z.B. zwischen 0 für schwarz und 1 für weiß festlegen.
Gliedweises Differenzieren ist bei dieser Fourierreihe erlaubt.
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Klingen, B. (2001). Fourierreihen I. In: Fouriertransformation für Ingenieur- und Naturwissenschaften. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56775-9_2
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