Zusammenfassung
Der Übergang von den Funktionen f v einer konvergenten Funktionenfolge {f v } zur Grenzfunktion
ist das wichtigste analytische Hilfsmittel, um aus einfacheren Funktionen kompliziertere herzustellen. Wir fassen als die einfachsten Funktionen auf einer gegebenen Menge die auf stetigen Funktionen auf und wollen nun systematisch die Funktionen studieren, die ausgehend von stetigen Funktionen durch beliebig oftmaligen Ginzübergang gebildet werden können1).
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Referenzen
Ist A der R k , ist bekanntlich jede auf stetige Funktion Grenzfunktion einer Folge von Polynomen. Die durch iterierte Grenzübergänge aus stetigen Funktionen herstellberen Funktionen sind dann also auch durch iterierte Grenzübergänge aus Polynomen darstellbar: sie sind „analytisch darstellbar“. Näheres hierüber H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 1 ff.
Nach R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1809), 63.
Abweichend hiervon werden manchmal nur diejenigen Funktionen als von Ö-ter Klasse auf bezeichnet, die zu einer auf 0stetigen Funktion erweitert werden können.
Abweichend hiervon werden manchmal alle Funktionen, die wir „von höchstens α-ter Klasse“nennen, als Funktionen α-ter Klasse bezeichnet. 2) Vgl hierzu H. Lebesgue, a. a. O 151 (Fußnote).
Sämtliche Sätze dieses Paragraphen sind allgemeine Grenzsätze.
Vgl. Kap. II, § 5, S. 134.
H. Lebesgue, a. a. 0. 153.
Ist die Funktion F(x 1, x 2, x k ) auch definiert, wenn einzelne ihrer Veränderlichen unendliche Werte annehmen, so kann diese Einschränkung wegbleiben.
R. Baire, Acta math. 30 (1906), 27; vgl. auch Ann. di mat. (3) 3 (1899), 81. Der Satz folgt auch leicht aus den Sätzen Kap. IV, § 7, Satz IV und V.
Unter den dort auftretenden E-Mengen sind hier die Teile erster Kategorie von zu verstehen.
Ein andrer Beweis bei H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 187.
H. Lebesgue, a. a. O., 186.
Über die Möglichkeit solcher Zerlegungen vgl. H. Lebesgue, Bull. soc. math. 35 (1907), 207, 212. P. Mahlo, Leipz. Ber. 63 (1911), 346.
Ist die Funktion F(x 1 ,x 2 ,…, x k ) auch definiert, wenn einzelne ihrer Veränderlichen unendliche Werte annehmen, so kann diese Einschränkung wegbleiben.
Der Satz gilt auch für die Funktionen g α .
Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung von Kap II, § 10, Satz I.
Ein anderer Beweis dieses Satzes bei W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1913), 357.
Vermöge der Schränkungstransformation können wir uns auf den Fall eigentlich gleichmäßiger Konvergenz beschränken.
Der Zusatz „in “wird weggelassen, wo kein Zweifel über die zugrunde gelegte Menge möglich ist.
Ein analoger Satz gilt, wenn höchstens eine Menge α ist.
Aus Satz V entnimmt man sofort: „a-Vereinigung in “heißt dasselbe wie: „höchstens Menge 2 in “; „o-Durchschnitt in “heißt dasselbe wie: „höchstens Menge 2 in “.
P. Hausdorff, Math, Ann. 77 (1916), 430.
Die endlich vielen Kombinationen gleicher Summe können dabei in beliebiger Reihenfolge angeschrieben werden.
Vgl. W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1912), 279. Von einem all gemeineren Gesichtspunkte aus werden die in §§ 5–8 besprochenen Fragen behandelt in einer während der Drucklegung erschienenen Abhandlung von F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 298.
Dabei sind die f v als endlich vorausgesetzt, was durch die Schrän-kungstransformation stets erreicht werden kann.
Vgl. zum Folgenden W. H. Young, Lond. Proc. (2) 12 (1912), 283.
Nach H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1904), 168.
Vgl. zum Folgenden: H. Lelresgue, Journ. de math. (6) 1 (1904), 156ff. W. Sierpiński, Bull. Crac. 1918, 168.
H. Lebesgue, a. a. O. 168.
R. Baire, Acta math. 30 (1906), 32.
Dabei ist f als endlich vorausgesetzt, was vermöge der Schränkungs-transformation zulässig ist.
Ein Spezialfall dieses Satzes wurde bewiesen von R. Baire, Acta math. 30 (1906), 31.
H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 173.
H. Lebesgue, a. a. O.
Diese Definition, sowie der gesamte Inhalt dieses Paragraphen bis einschließlich Satz VI stammt von H. Lebesgue, a. a. O. 174ff.
Für α = 0 gilt dieser Satz nicht, wie jede Funktion zeigt, die auf einer abgeschlossenen Menge = 1, sonst = 0 ist.
Dieser Satz wurde zuerst bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 16 (für Funktionen einer reellen Veränderlichen); Bull. soc. math. 28 (1900), 173 (für Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher). Andere Beweise H. Lebesgue, C. R. 128 (1899), 811; Bull. soc. math. 32 (1904), 229; Journ. de math. (6) 1 (1905), 182; C. A. Dell’-Agnola, Atti Ven. 68 (1909), 775; Rend. Lomb. 41 (1908), 287, 676.
Auf andrem Wege zuerst bewiesen von R. Baire, Acta math. 30 (1906), 17.
Der Beweis entsteht aus dem Beweise von § 9, Satz IV durch ganz dieselben Abänderungen wie der Beweis von Satz VI aus dem Beweise von § 9, Satz I.
Auf andrem Wege bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 75.
Kap. III, § 7, S. 227.
Das erste Beispiel einer Funktion dritter Klasse wurde von R. Baire angegeben (Acta math. 30 (1906) 30ff.); wir kommen darauf unten zurück. Wie R. Baire mitteilt (a. a. O. 47), war V. Volterra schon 1898 im Besitze eines solchen Beispieles.
A. a. O., wo man auch alle Beweise der folgenden Behauptungen findet.
Vgl. S. 371, Fußn.2).
Dieser Satz wurde zuerst bewiesen von H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 205 ff. Eine vereinfachte Darstellung des Beweises, der wir uns hier angeschlossen haben, wurde gegeben von Ch. J. de la Vallée-Poussin in: Intégrales de Lebesgue, Fonctions d’ensemble, Classes de Baire (Paris 1916), 145 ff.
Von diesem Satze gilt auch die Umkehrung: Ist höchstens eine Mengeα+2 in gibt es eine Folge {f v } von Funktionen geringerer als α-ter Klasse auf , deren Konvergenzmenge ist. Wegen des Beweises verweisen wir auf H. Hahn, Arch. d. Math. u. Phys. (3) 28 (1919), 34.
Vgl. Kap. IV, § 9, S. 292.
Übrigens kann nicht einmal aus der Annahme, es sei f(x,y) stetig auf jeder Geraden des R2, oder sogar auf jeder analytischen Kurve des R2, auf die Stetigkeit von f(x,y) im R2 geschlossen werden. Vgl. H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 199.
Die dort mit a und b bezeichneten Punkte sind hier a(1) bzw. a(2).
Allgemein ist jede Funktion f(a (1) , a (2),…, a(k)), die stetig ist als Funktion jeder einzelnen ihrer Veränderlichen bei Festhaltung der übrigen, punktweise unstetig als Funktion von (a(1), a(2),…, a(k)). Dies wurde für k = 3 gezeigt von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 95, allgemein von H. Hahn, Math. Zeitschr. 4 (1919), 306.
R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 94. E. B. Van Vleck, Am. Trans. 8 (1907), 200.
E. B. Van Vleck, a. a. O. Vgl. auch R. Baire, a. a. O. 27
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Hahn, H. (1921). Die Baireschen Funktionen. In: Theorie der reellen Funktionen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52624-4_7
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